II-4. Notice 1 : Deviner le nombre choisi

Notice 2

Le logicien, les saints et les menteurs

II-6. Notice 3 : Le jeu des sept allumettes
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Le logicien, les saints et les menteurs
  • Analyse du problème.
  • Les lampes X, Y, Z allumées (resp. éteintes) indiquent que la 1^{\grave{e}re} personne interrogée, la 2^{\grave{e}me}, la 3^{\grave{e}me} sont des saints (resp. des menteurs). La clé du problème tient au fait que le logicien connait la réponse donnée par la 1^{\grave{e}re} personne sans qu’il soit nécessaire de comprendre celle-ci. En effet : si cette personne est un saint elle dit « je suis un saint »  ; si cette personne est un menteur, elle… ment et elle dit « je suis un saint ». Autrement dit, la première per­sonne répond toujours « je suis un saint ».

     \begin{tabular}{|c|c|c||c|c|c|} \multicolumn{3}{c}{\textsf{\large{}$\begin{array}{c} entr\acute{e}e\\ \overbrace{\qquad\qquad} \end{array}$}} & \multicolumn{3}{c}{\textsf{\large{}$\begin{array}{c} sortie\\ \overbrace{\qquad\qquad} \end{array}$}}\tabularnewline \hline \textsf{\large{}A} & \textsf{\large{}B} & \textsf{\large{}C} & \textsf{\large{}X} & \textsf{\large{}Y} & \textsf{\large{}Z}\tabularnewline \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\tabularnewline \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\tabularnewline \hline 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\tabularnewline \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\tabularnewline \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\tabularnewline \hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\tabularnewline \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\tabularnewline \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\tabularnewline \hline \end{tabular}

    Ceci conduit à la Table de valeurs ci-dessus. En effet :
  • Table de valeurs.
      • — Si, par exemple, la 2^{\grave{e}me} personne interrogée répond « le 1^{er} a dit qu’il est un menteur » on inscrit A=0, mais on sait qu’alors cette deuxième personne ment, donc Y=0, ce qui permet de remplir de 0 les quatre dernières lignes de la colonne Y ;
      • — si, ensuite, la 3^{\grave{e}me} personne interrogée répond « le 1^{er} est un menteur » (c’est-à-dire B=0) et « le deuxième est un menteur » (c’est-à-dire C=0), cette dernière phrase comparée au renseignement connu (la 2^{\grave{e}me} personne est effectivement un menteur) assure que cette 3^{\grave{e}me} personne est un saint (donc Z=1) et, par suite, ce qui est vrai, « la 1^{\grave{e}re} est un menteur » ( X=0). Ceci nous permet de ­remplir la dernière ligne de la table.
      • — On procède de même pour les huit lignes. Ainsi pour A=1, B=1, C=0 (2^{\grave{e}me} ligne). \begin{tabular}{rcl} $A=1$ & : & {\small{}La 2$^{\grave{e}me}$ personne dit }\textbf{\small{}« la 1$^{\grave{e}re}$a dit qu'il est un saint »}{\small{}. C'est vrai.}\tabularnewline & & {\small{}Donc cette deuxième personne est un saint (Y = 1). }\tabularnewline $B=1$ & : & {\small{}La 3$^{\grave{e}me}$ personne dit }\textbf{\small{}« la 1$^{\grave{e}re}$ personne est un saint »}{\small{}.}\tabularnewline $C=0$ & : & {\small{}La 3$^{\grave{e}me}$ personne dit }\textbf{\small{}« la 2$^{\grave{e}me}$ personne est un menteur ».}{\small{} C'est faux. }\tabularnewline & & {\footnotesize{}Donc cette 3$^{\grave{e}me}$ personne ment ($Z=0$) et par suite la 1$^{\grave{e}re}$ est un }\textbf{\footnotesize{}menteur}{\footnotesize{}. }\tabularnewline \end{tabular}
      • Expressions algébriques.
        • — La lampe X doit être allumée (X=1) sur les « lignes» 1, 4 , 6, 7 correspon­dant à :

           \begin{tabular}{cc} & ($A=1$ et $B=1$ et $C=1$) \tabularnewline \textbf{ou} & ($A=1$ et $B=0$ et $C=0$) \tabularnewline \textbf{ou} & ($A=0$ et $B=1$ et $C=0$) \tabularnewline \textbf{ou} & ($A=0$ et $B=0$ et $C=1$) \tabularnewline \end{tabular} c’est-à-dire : \left|\begin{array}{c} ABC\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ \overline{A}B\overline{C}\\ \;\overline{A}\;\overline{B}C \end{array}\right|

        • — De même (lignes 1, 2, 3, 4 de la table) : \left|\begin{array}{c} ABC\\ AB\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ A\;\overline{B}\;\overline{C} \end{array}\right|
        • — De même (lignes 1, 3, 6, 8 de la table) : \qquad\qquad\left|\begin{array}{c} ABC\\ A\overline{B}C\\ \overline{A}B\overline{C}\\ \;\overline{A}\;\overline{B}\;\overline{C} \end{array}\right|
        Donc\qquad X=\left|\begin{array}{c} ABC\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ \overline{A}B\overline{C}\\ \;\overline{A}\;\overline{B}C \end{array}\right|\qquad \qquad Y=\left|\begin{array}{c} ABC\\ AB\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ A\;\overline{B}\;\overline{C} \end{array}\right|\qquad \qquad Z=\left|\begin{array}{c} ABC\\ A\overline{B}C\\ \overline{A}B\overline{C}\\ \;\overline{A}\;\overline{B}\;\overline{C} \end{array}\right|
      • Simplifications (voir 1^{\grave{e}re} partie, § 6 et 8).X ne peut être simplifiée. Donc :

            \[ X=\left|\begin{array}{c} ABC\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ \overline{A}B\overline{C}\\ \;\overline{A}\;\overline{B}C \end{array}\right| \qquad \qquad Y=\left|\begin{array}{c} ABC\\ AB\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ A\;\overline{B}\;\overline{C} \end{array}\right|= A\left|\begin{array}{c} B\\ \overline{B} \end{array}\right|=A \qquad \qquad Z=\left|\begin{array}{c} ABC\\ A\overline{B}C\\ \overline{A}B\overline{C}\\ \;\overline{A}\;\overline{B}\;\overline{C} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} AC\\ \;\overline{A}\;\overline{C} \end{array}\right| \]

      • Schéma du programme (voir notice \fbox{2}).
        • — Pour « alimenter » la lampe X, il est nécessaire (puisqu’il y a quatre ou) de la relier à quatre « colonnes de programmation ». Nous avons choisi les colonnes 1, 2, 3, 4.Sur la colonne 1, nous avons mis\;\overline{A}\;\overline{B}C (fiches à droite sur les barrettes A et B, fiche à gauche sur la barrette C). Sur la colonne 2, nous avons mis \overline{A}B\overline{C}. Sur la colonne 3, il y a A\;\overline{B}\;\overline{C}Sur la colonne 4, il y a ABC
        • — Pour « alimenter » la lampe Y, il suffit d’une seule « colonne de program­mation ».  Nous avons choisi la colonne 5. Pour « écrire » A, il suffit de placer une fiche à gauche de la colonne 5, sur la barrette A et de « neutraliser» B et C en plaçant deux fiches de part et d’autre de la colonne 5 sur les barrettes B et C.
        • — Pour la lampe Z, il faut deux colonnes. Nous avons choisi les colonnes de programmation 6 et 7. Sur la colonne 6, nous avons placé \;\overline{A}\;\overline{C} ; sur la colonne 7, AC
        • — Ainsi est justifié le programme présenté sur la notice \fbox{2}.
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        Jouez
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