La relation d'implication et celle d'équivalence |
Partons de la notion de proposition conditionnelle. Une telle proposition peut être vraie ou fausse comme n’importe quelle autre. Ainsi la proposition
« Si est marié, il a une seule femme légitime » est vraie en Europe, fausse dans certaines civilisations. D’autre part, une proposition peut être vraie pour diverses raisons : juridiques, physiques, logiques, etc.
Considérons alors une proposition conditionnelle qui est vraie pour des raisons logiques. Cela signifie qu’elle est un théorème, donc de la forme . Tel est, par exemple, le cas de la proposition «
», si on pose
=df
et
=df
. Il est clair que, dans ces conditions, l’antécédent
et le conséquent
de la conditionnelle ne sont pas quelconques. En d’autres termes, si la proposition conditionnelle
est un théorème logique, c’est qu’il existe une certaine relation entre
et
. Nous dirons alors (et seulement alors) que
implique
(certains disent :
implique matériellement
) et nous noterons :
. Ceci conduit à poser :
Df :
df
soit : « implique
» veut dire que la proposition conditionnelle « si
alors
» est un théorème logique.
Remarques
Il est très important de ne pas confondre les signes « ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() En logique toutefois ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Donnons à ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Dès lors : 1) |
Étudions maintenant quelques unes des propriétés de cette relation d’implication.
1) Elle est réflexive :
En effet, par définition, signifie
, ce qui est le métathéorème (1) du § ? ?
2) Elle est transitive : et
Il faut donc montrer que si et si
, alors on a
.
C’est l’exemple d’application que nous avons donné de l’épithéorème 2.
Puisque (c’est une définition reçue en algèbre) toute relation qui est à la fois réflexive et transitive est une relation de préordre, nous pouvons affirmer que l’implication est une \emph{relation de préordre}.
D’une façon analogue, nous allons partir de la proposition biconditionnelle. Elle est de la forme , soit
ssi
. Si maintenant les propositions désignées par
et
sont telles que la proposition désignée par
est un théorème, donc si
, c’est qu’il existe entre elles une certaine relation que nous noterons
.
Df :
=df
.
Étudions aussi cette relation.
1) Elle est réflexive : Par le métathéorème (4) du § ? ?.
2) Elle est symétrique :
Par le métathéorème (5) du § ? ? et l’exemple d’application de l’épithéorème 1.
3) Elle est transitive : et
Par le métathéorème (6) du § ? ? et l’épithéorème 1.
Il s’ensuit que, par définition, la relation est une relation d’équivalence.
Les logiciens ont l’habitude de l’appeler simplement la relation d’équivalence. C’est donc un abus de langage, mais il est reçu.
Ceci nous permet de revenir à la relation d’implication. Nous savons déjà qu’il s’agit d’une relation de préordre. Mais elle jouit encore d’une troisième propriété.
3) Elle est antisymétrique : et
Par le métathéorème (3) du § ? ?.
On convient de dire que la relation d’implication, qui est donc réflexive, transitive et antisymétrique est une relation d’ordre.
Notons enfin que les métathéorèmes (7), (8) et (9) du § ? ? peuvent s’écrire :
Ces trois équivalences expriment des propriétés importantes du fondeur , à savoir que l’opération de conjonction est idempotente, commutative et associative.
Remarque
Il faut prendre garde de ne pas confondre les termes : 1) Réflexif, symétrique et transitif, qui désignent des propriétés de certaines relations et 2) Idempotent, commutatif et associatif, qui désignent des propriétés de certaines opérations. |