II-6. Notice 3 : Le jeu des sept allumettes

II-5. Notice 2 : Le logicien.

Notice 3

Le jeu des sept allumettes

II-7 Notice 4 : … et l’étoile reste seule

1° Analyse du problème.

Pour que l’ordinateur J.R. 01 gagne, « doit arriver le premier à la somme 7 (en binaire 111) dans la deuxième phase. Pour s’assurer de cela, il doit d’abord arriver premier au total de 4, qui lui permettra de compléter toujours 7 quel que soit le jeu de l’adversaire (1 ou 2 allumettes remises). Pour s’assurer le total de 4, « doit être le premier à mettre 1, ce qui veut dire que l’ordinateur J .R. 01 doit être le premier à jouer dans la deuxième phase (qui consiste à remettre les allumettes sur la table, allumettes qui ont été enlevées durant la première phase).

Donc, dans la première phase, il faut que l’ordinateur J.R. 01 arrive à laisser sur la table la dernière allumette que l’adversaire est obligé de prendre. Pour s’assurer cette position, l’ordinateur J.R.01 devra d’abord arriver à enlever 3 allumettes de la première phase, choisissant de prendre, soit une, soit deux allumettes (donc l’ordinateur J.R. 01 gagnera toujours si l’adversaire est le premier à jouer).

Si, au contraire, c’est le J.R. 01 qui commence, la stratégie dans la préparation du programme sera celle d’essayer de le faire arriver, plus tôt ou plus tard, sur un des totaux stratégiques 3 ou 6 dans la première phase, 1 ou 4 dans la deuxième. Chaque fois que ceci se vérifie, le J. R. 01 gagne.
2° Table de valeurs.

Les informations $A$ , $B$ , $C$ à l’entrée concernent le jeu de « l’adversaire », à la sortie $X$ , $Y$ , $Z$ concernent le J.R.01.
- — Si $A=0$ , $B=0$ , $C=0$ (c’est-à-dire si J.R. 01 commence, il enlèveune allumette ( $X=0$ , $Y=0$ , $Z=1$ ) (1 $^{\grave{e}re}$ ligne dela table).
- Si $A=0$ , B = 0, $C=1$ (une allumette enlevée par l’adversaire),J.R. 01 doit arriver au total de 3 donc $X=0$ , $Y=1$ , $Z=1$ (car,en binaire, 011 équivaut à 3) (2 $^{\grave{e}me}$ ligne de la table,page suivante).
$\begin{tabular}{r|r|c|c||c|c|c|} \multicolumn{1}{r}{} & \multicolumn{3}{c}{\textsf{\large{}$\begin{array}{c} entr\acute{e}e\\ {\scriptstyle {\scriptscriptstyle (adversaire)}}\\ \overbrace{\qquad\qquad} \end{array}$}} & \multicolumn{3}{c}{\textsf{\large{}$\begin{array}{c} sortie\\ (\mathsf{JR01})\\ \overbrace{\qquad\qquad} \end{array}$}}\tabularnewline \cline{2-7} & \textsf{\large{}A} & \textsf{\large{}B} & \textsf{\large{}C} & \textsf{\large{}X} & \textsf{\large{}Y} & \textsf{\large{}Z}\tabularnewline \cline{2-7} \multicolumn{1}{r|}{} & \multicolumn{1}{c|}{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\tabularnewline \cline{2-7} \multicolumn{1}{r|}{} & \multicolumn{1}{c|}{0} & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\tabularnewline \cline{2-7} \multicolumn{1}{r|}{} & \multicolumn{1}{c|}{0} & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\tabularnewline \cline{2-7} \multicolumn{1}{r|}{} & \multicolumn{1}{c|}{0} & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\tabularnewline \cline{2-7} \multicolumn{1}{r|}{} & \multicolumn{1}{c|}{1} & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\tabularnewline \cline{2-7} \multicolumn{1}{r|}{} & \multicolumn{1}{c|}{1} & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\tabularnewline \cline{2-7} \multicolumn{1}{r|}{5 ou 6 dans la 2$^{\grave{e}me}$ phase {\Large{}$\rightarrow$}} & \multicolumn{1}{c|}{1} & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\tabularnewline \cline{2-7} \multicolumn{1}{r|}{2 dans la 2$^{\grave{e}me}$ phase {\Large{}$\rightarrow$}} & \multicolumn{1}{c|}{1} & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\tabularnewline \cline{2-7} \end{tabular}$
3° Expressions algébriques.

La lampe $X$ est allumée ( $X=1$ ) lorsque (Iignes 5 à 8)

$\begin{tabular}{cc} & ($A=0$ et $B=1$ et $C=1$) \tabularnewline \textbf{ou} & ($A=1$ et $B=0$ et $C=0$) \tabularnewline \textbf{ou} & ($A=1$ et $B=0$ et $C=1$) \tabularnewline \textbf{ou} & ($A=1$ et $B=1$ et $C=0$) \tabularnewline \textbf{ou} & ($A=1$ et $B=1$ et $C=1$) \tabularnewline \end{tabular}$ c’est-à-dire : $X=\left|\begin{array}{c} \overline{A}BC\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ AB\;\overline{C}\\ ABC \end{array}\right|$

De même pour $Y=1$ (lignes 2, 3, 5, 6,7), d’une part, et Z=1 (lignes 1, 2, 3, 7), d’autre part :
on a : $Y=\left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\;\overline{B}C\\ \overline{A}B\overline{C}\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ AB\overline{C} \end{array}\right| \qquad{}$ $\qquad{}$ et $\qquad{} Z=\left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\;\overline{B}\;\overline{C}\\ \;\overline{A}\;\overline{B}C\\ \overline{A}B\overline{C}\\ AB\overline{C} \end{array}\right|$

4° Simplifications (voir 1 $^{\grave{e}re}$ partie, § 6 et 8).

Pour $X$ , écrivons :
$X=\left|\begin{array}{c} \overline{A}BC\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ AB\;\overline{C}\\ ABC \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} ABC\\ \overline{A}BC\\ AB\;\overline{C}\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} BAC\\ B\overline{A}C\\ BA\;\overline{C}\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} B\left|\begin{array}{c} AC\\ \overline{A}C\\ A\overline{C} \end{array}\right|\\ A\;\overline{B}\left|\begin{array}{c} C\\ \overline{C} \end{array}\right| \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} B\left|\begin{array}{c} A\\ C \end{array}\right|\\ A\;\overline{B} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} BC\\ A \end{array}\right|$
— Pour $Y$ , écrivons :
${\scriptstyle Y=\left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\;\overline{B}C\\ \overline{A}B\overline{C}\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ AB\overline{C} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \overline{A}B\overline{C}\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ AB\overline{C}\\ \;\overline{A}\;\overline{B}C\\ A\overline{B}C \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \left|\begin{array}{c} \overline{A}B\\ A\;\overline{B}\\ AB \end{array}\right|\overline{C}\\ \left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\\ A \end{array}\right|\;\overline{B}C \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \left|\begin{array}{c} B\\ A \end{array}\right|\overline{C}\\ \;\overline{B}C \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \overline{C}B\\ \overline{C}A\\ \;\overline{B}C \end{array}\right|}$
— Pour $Z$ , écrivons :
$Z=\left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\;\overline{B}\;\overline{C}\\ \;\overline{A}\;\overline{B}C\\ \overline{A}B\overline{C}\\ AB\overline{C} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\;\overline{B}\left|\begin{array}{c} \overline{C}\\ C \end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{c} \overline{A}\\ A \end{array}\right|B\overline{C} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\;\overline{B}\\ B\overline{C} \end{array}\right|$
5° Schéma du programme (voir notice )}
- Puisque $X=\left|\begin{array}{c} BC\\ A \end{array}\right|$ on doit relier la lampe $X$ à deux « colonnes » de programmation. On a choisi les colonnes 1 et 2.
  
  Sur la colonne 1, la fiche placée à gauche, sur la barrette $A$ ,représente $A$ ; les fiches placées sur les barrettes $B$ et $C$ de part et d’autre de la colonne 1, « neutralisent » $B$ et $C$ . Donc, la colonne 1 « représente » A.
  
  La colonne 2 représente B . C (A est « neutralisée »). D’où $X=\left|\begin{array}{c} A\\ BC \end{array}\right|$
- — Pour obtenir $Y=\left|\begin{array}{c} \overline{C}B\\ \overline{C}A\\ \;\overline{B}C \end{array}\right|$ il faut relier la lampe $Y$ à trois « colonnes » de programmation.
  Nous avons choisi les colonnes 3, 4, 5.
  
  Sur la colonne 3, $A$ est « neutralisé » par les deux fiches, et les deux autres fiches « en série » représentent $\;\overline{B}C$ .
  
  Sur la colonne 4, on a $A\overline{C}$ . Sur la colonne 5, on a $BC$ .
- — Pour obtenir $Z=\left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\;\overline{B}\\ B\overline{C} \end{array}\right|$ il faut relier $Z$ à deux « colonnes » de programmation.
  
  Sur la « colonne » 6, on a « neutralisé » $C$ par deux fiches et on a « écrit » $\;\overline{A}\;\overline{B}$ avec les deux fiches placées, à droite de la colonne, sur les barrettes $A$ et $B$ .
  
  Sur la colonne 7, on a de même, $B\overline{C}$ .
- — Ainsi se trouve justifié le programme de la notice $\fbox{3}$