II-2. Étude d’un exemple

Étude d'un exemple.

Considérons la situation suivante :
C’est l’été, je me promène. Une averse a mouillée la chaussée. Dans quels cas me mouillerai-je sachant que : il peut continuer à pleuvoir ou non ; si j’ai un parapluie, j’admets qu’il m’abrite de la pluie ; si j’ai des chaussures aux pieds, j’admets que j’ai les pieds sec.

Désignons par A, B, C, les trois propositions suivantes :

A	« il continue de pleuvoir »	(vrai ou faux) ;
B	« j’ai un parapluie »	(vrai ou faux) ;
C	« j’ai des chaussures aux pieds »	(vrai ou faux) ;

Il y a donc 8 possibilités, indiquées par la table de valeurs ci-dessous (faux : 0 ; vrai : 1).
Soit X la proposition : « je me mouille » (vrai ou faux). Le problème consiste à connaître tous les cas pour lesquels X prend la valeur 1.

$\begin{tabular}{|c|c|c|cc} \cline{1-3} {\large $A$} & {\large $B$} & {\large $C$}&&\\ \cline{1-3}\cline{1-3} {\large 0} & {\large 0} & {\large 0} &&(0)\\ \cline{1-3} {\large 0} & {\large 0} & {\large 1}&&(1)\\ \cline{1-3} {\large 0} & {\large 1} & {\large 0}&&(2)\\ \cline{1-3} {\large 0} & {\large 1} & {\large 1}&&(3)\\ \cline{1-3} {\large 1} & {\large 0} & {\large 0}&&(4)\\ \cline{1-3} {\large 1} & {\large 0} & {\large 1}&&(5)\\ \cline{1-3} {\large 1} & {\large 1} & {\large 0}&&(6)\\ \cline{1-3} {\large 1} & {\large 1} & {\large 1}&&(7)\\ \cline{1-3} \end{tabular}$

Étudions tous les cas possibles.

$\begin{tabular}{|c|c|c||c|} \hline {\large $A$} & {\large $B$} & {\large $C$} & {\large $X$} \\ \hline {\large 0} & {\large 0} & {\large 0} & {\large 1} \\ \hline {\large 0} & {\large 0} & {\large 1} & {\large 0} \\ \hline {\large 0} & {\large 1} & {\large 0} & {\large 1} \\ \hline {\large 0} & {\large 1} & {\large 1} & {\large 0} \\ \hline {\large 1} & {\large 0} & {\large 0} & {\large 1} \\ \hline {\large 1} & {\large 0} & {\large 1} & {\large 1} \\ \hline {\large 1} & {\large 1} & {\large 0} & {\large 1} \\ \hline {\large 1} & {\large 1} & {\large 1} & {\large 0} \\ \hline \end{tabular}$

— Première ligne : $A = 0$ , $B=0$ , $C=0$ , c’est-à-dire « il ne pleut plus et je n’ai pas de parapluie et je n’ai pas de chaussures aux pieds ». Il est alors clair, la chaussée étant mouillée, que je me mouille des lieds, donc $X =1$ . Or ( $A=0$ ) et ( $B=0$ ) et ( $C=0$ ) correspond à $\framebox{$\overline{A}\; \overline{B}\; \overline{C}$}$ (d’après la première partie, paragraphe 2 et 3).
— Deuxième ligne : $A=0$ , $B=0$ , $C=1$ c’est-à-dire : « il ne pleut plus et je n’ai pas de parapluie et j’ai des chaussures aux pieds ». Dans ce cas, je ne me mouille pas ; donc $X=0$ .
— Troisième ligne : $A=0$ , $B=1$ , $C=0$ c’est-à-dire : « il ne pleut plus et j’ai un parapluie et je n’ai pas de chaussures aux pieds ». La chaussée étant mouillée, il est clair que … je me mouille les pieds. Par suite $X=1$ . Remarquons que cela correspond à la proposition $\framebox{$\overline{A}\; B \; \overline{C}$}$ (voir première partie, §2 et 3).
— Quatrième ligne : $A=0$ , $B=1$ , $C=1$ . On montre que $X=0$ , c’est à dire que je ne me mouille pas.
— Cinquième ligne : $A=1$ , $B=0$ , $C=0$ c’est à dire : « il continue de pleuvoir et je n’ai pas de parapluie et je n’ai pas de chaussures aux pieds ». Donc …je me mouille, soit $X=1$ . Ceci correspond à la proposition $\framebox{A\;$\overline{B}\; \overline{C}$}$
— Sixième ligne : $A=1$ , $B=0$ , $C=1$ . Il est immédiat que $X=1$ (je me mouille…) Cela correspond à la proposition $\framebox{A\;$\overline{B}\; C$}$
Septième ligne : $A=1$ , $B=1$ , $C=0$ c’est à dire « il continue de pleuvoir et j’ai un parapluie et je n’ai pas de chaussures aux pieds ». Donc… $X=1$ (je ne me mouille pas les pieds). Ce cas correspond à la proposition $\framebox{A\; B\; $\overline{C}$}$
— Huitième ligne : $A=1$ , $B=1$ , $C=1$ . Il est calir que je ne me mouille pas ( $X=0$ ). D’où la table des valeurs c-contre.

Quelle est la proposition X ?

« Je me mouille » dans l’un au moins des cinq cas indiqués ci-dessus (lignes 1, 3, 5, 6, 7). Donc (voir première partie, §4) :

$X = \left|\begin{array}{ccc} \overline{A} & \overline{B} & \overline{C} \\ \overline{A} & B & \overline{C} \\ A & \overline{B} & \overline{C} \\ A & \overline{B} & C \\ A & B & \overline{C} \\ \end{array}\right|$

Montages électriques.
Le circuit électrique correspondant à cette proposition serait le suivant (voir 1^erepartie). (Ne pas oublier qu’un montage en série correspond à et et un montage en parallèle à ou)

Ce montage est compliqué.

Or les règles de calcul présenté dans la première partie (§7) permettent de remplacer l’expression de X par une autre équivalente mais plus simple. Il en résultera une simplification du circuit électrique correspondant.

En effet :

$X = \left|\begin{array}{c} \overline{A} \; \overline{B} \; \overline{C} \\ \overline{A} \; B \; \overline{C} \\ A \; \overline{B}\; \overline{C} \\ A \; \overline{B} \; C \\ A \; B \; \overline{C} \\ \end{array}\right|$

et, d’après la première partie, §7, formule (5) :

$X = \left| \begin{array}{c} \begin{array}{cc|c|} \multicolumn{2}{c|}{\multirow{2}{*}{$\overline{A} \; \overline{C}$}} & \overline{B} \\ & & B \\ \end{array} \\ \begin{array}{c|c|} \multirow{3}{*}{A} & \overline{B}\;\overline{C}\\ & \overline{B} \; C \\ & B \; \overline{C} \\ \end{array} \\ \end{array}\right|$

et, d’après la première partie, §6 et 7, formule (12) et (10) :

$X = \left| \begin{array}{@{}c} \overline{A}\;\overline{C}\\ \begin{array}{c|c|} \multirow{2}{*}{A} & \overline{B}\\ & \overline{C} \\ \end{array} \\ \end{array} \right|$

et, d’après première partie, § 6 et 7, formule (5) :

$X = \left| \begin{array}{c} \overline{A}\;\overline{C}\\ A \;\overline{B}\\ A\;\overline{C}\\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{@{}c} \overline{A}\;\overline{B}\\ \begin{array}{c|c|} \multirow{2}{*}{$\overline{C}$} & \overline{A}\\ & A\\ \end{array} \\ \end{array} \right|$

en définitive :

$X = \begin{array}{|c|} A \; \overline{B}\\ \overline{C}\\ \end{array}$

Ce qui signifie « je me mouille » si :
« (il pleut et je n’ai pas de parapluie)
ou (je n’ai pas de chaussures aux pieds) »

Le circuit électrique correspondant est alors extrêmement simplifié :

Comment, alors, programmer l’ordinateur J.R. 01 ? C’est extrêmement simple.

1° Il nous faut deux branches en parallèles, à savoir : celle de $A\;\overline{B}$ et celle de $\overline{C}$ . Ces branches doivent être reliées à une sortie. Choisissons (ce n’est pas une obligation) de lire les résultats sur la lampe X. Donc on va relier X à deux « branches ».

2° Choisissons de porter $\overline{C}$ sur la première ligne. Pour cela :

— il faut neutraliser les propositions A et B. Cela s’obtient en mettant deux fiches dans les trous correspondants ;
	— ensuite, il suffit de savoir que les trous inférieurs de chaque paire correspondent aux propositions $A$ , $B$ , $C$ ; les trous du dessus correspondent aux propositions contraires $\overline{A}$ , $\overline{B}$ et $\overline{C}$ .
3° Portons $A\;\overline{B}$ sur la ligne suivante. On place une fiche dans le trou inférieur de la ligne 2 de la barrette $A$ et une autre dans le trou supérieur de la même sur la barrette $B$ et enfin « neutraliser » la proposition $C$ . Pour cela on enfonce deux fiches dans les trous $C$ et $\overline{C}$ de la même ligne 2
Vérifications. Placez, à votre convenance, les index des barrettes $A$ , $B$ et $C$ soit sur $0$ , soit sur $1$ . N’oubliez pas de presser l’interrupteur en bas à droite pour mettre le circuit en fonction. La lampe $X$ (allumée : $X=1$ ; éteinte : $X=0$ ) vous redonnera les résultats inscrits dans la table de vérité précédente.