II-9 Notice 6 : Le jeu des trois verres – JR01

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II-8 Notice 5 : Un jeu de dé

Notice 6

Le jeu des trois verres

II-10 Notice 7 : Une belle réussite ou un échec partiel ?

1° Analyse du problème.

Soit $A$ , $B$ , $C$ les trois verres. Écrivons 1 si un verre se trouve dansla position « debout », écrivons 0 si un verre se trouve dans la position« renversée ».

Les 8 possibilités (cas de 3 propositions) se réduisent immédiatement à… 4 (en « échangeant » le « nom » des verres). À savoir : $111$ (les 3 verres sont « debout ») ; $010$ (un verre, celui du milieu, si l’on veut, est « debout », les 2 autres renversés) ; $101$ (deux verres « debout», un « renversé », celui du milieu ; $000$ (les trois verres sont « renversés ». Puisque nous avons droit à 3 manipulations de deux verres chaque fois, cela signifie que nous avons droit à 6changements de $0$ en $1$ ou de $1$ en $0$ .

Par suite les cas $000$ et $101$ ne peuvent avoir de solution. En trois manipulations on ne peut obtenir que… $000$ si l’on veut. Les cas $111$ et $010$ ont une solution.

Laquelle ?
- → Pour $111$ , on passe d’abord à $001$ , puis à $010$ , puis à $111$ .
- → Pour $010$ , on passe d’abord à $100$ , puis à $001$ , puis à $111$ .
2° Table de valeurs.

Établissons-la pour $010$ . On obtient (d’après ce qui précède) :

$\begin{tabular}{|c|c|c||c|c|c|} \hline \multicolumn{3}{|c||}{\textsf{\large{}$\begin{array}{c} entr\acute{e}e\\ \overbrace{\qquad\qquad} \end{array}$}} & \multicolumn{3}{c|}{\textsf{\large{}$\begin{array}{c} sortie\\ \overbrace{\qquad\qquad} \end{array}$}}\\ \hline \textsf{\large{}A} & \textsf{\large{}B} & \textsf{\large{}C} & \textsf{\large{}X} & \textsf{\large{}Y} & \textsf{\large{}Z}\\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \hline \end{tabular}$
3° Expressions algébriques.
- — La lampe $X$ doit s’allumer si $X=1$ c’est-à-dire sur les lignes 1 ou 3. Or la ligne 1 correspond à ( $A=0$ \textbf{et} $B=1$ et $C=0$ ) soit $\overline{A}B\overline{C}$ et la ligne 3 correspond à ( $A=0$ \textbf{et} $B=0$ \textbf{et} $C=1$ ) soit $\overline{A}\;\overline{B}C$ .
  
  Donc : $X=\left|\begin{array}{c} \overline{A}B\overline{C}\\ \overline{A}\;\overline{B}C \end{array}\right|$
- — La lampe $Y$ doit s’allumer si $Y=1$ , c’est-à-dire sur la ligne 3. On vient de voir que cette ligne correspond à $\overline{A}\;\overline{B}C$ .
  Donc : $Y=\overline{A}\;\overline{B}C$ .
- — La lampe $Z$ doit s’allumer si $Z=1$ , c’est-à-dire sur les lignes 2 ou 3.
  
  La ligne 2 correspond à ( $A=1$ et $B=0$ et $C=0$ ), soit $A\;\overline{B}\;\overline{C}$
  
  La ligne 3 correspond à ( $A=0$ et $B=0$ et $C=1$ ), soit à $\overline{A}\;\overline{B}C$
  
  Donc : $Z=\left|\begin{array}{c} A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ \overline{A}\;\overline{B}C \end{array}\right|$
4° Simplifications.

Il n’y en a pas.
4° Schéma de programme.
- — Pour « alimenter » la lampe $X$ , il faut deux « colonnes de programmation ». Nous avons choisi les colonnes 2 et 3. Sur la colonne 2, on a réalisé $\overline{A}B\overline{C}$ . Sur la colonne 3, $\overline{A}\;\overline{B}C$ . D’où $X=\left|\begin{array}{c} \overline{A}B\overline{C}\\ \overline{A}\;\overline{B}C \end{array}\right|$
- — Pour $Y$ , une seule colonne suffit. Nous avons choisi la colonne 4 sur laquelle on a écrit $Y=\overline{A}\;\overline{B}C$ .
- — Pour $Z$ , il faut deux branchements en parallèles. On choisit les « colonnes de programmation » 5 et 6. Sur 5 on a réalisé $A\;\overline{B}\;\overline{C}$ et sur 6, $\overline{A}\;\overline{B}C$ . Donc on a bien $Z=\left|\begin{array}{c} A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ \overline{A}\;\overline{B}C \end{array}\right|$
- — Ceci justifie le programme donné dans la notice $\fbox{6}$ .

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