I-6. Algèbre de Boole pour deux propositions.

Que peut-on découvrir avec trois informations ?

I-8. Algèbre de Boole pour trois propositions
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  • D’après ce qui précède(§5), avec deux informations (ou propositions), nous avons vu qu’il était possible d’écrire 16 propositions ou de construire 16 circuits électriques, ou encore d’établir 16 raisonnements logiques. Pas un de plus, pas un de moins. Que pouvons-nous faire avec trois informations (c’est le cas de l’ordinateur J.R. 01) ? Notons A, B, C ces trois informations et dressons la table de vérité qui leur est associée (cf. ci-contre). Cette table a 8 lignes. Chaque possibilité s’obtient en remplissant les lignes de la 4\mathrm{\grave{e}me} colonne de 0 ou 1, au choix.
 \begin{tabular}{|c|c|c||c|} \hline {\large $A$} & {\large $B$} & {\large $C$} & {\large ?}\\ \hline {\large 0} & {\large 0} & {\large 0} & \\ \hline {\large 0} & {\large 0} & {\large 1} & \\ \hline {\large 0} & {\large 1} & {\large 0} & \\ \hline {\large 0} & {\large 1} & {\large 1} & \\ \hline {\large 1} & {\large 0} & {\large 0} & \\ \hline {\large 1} & {\large 0} & {\large 1} & \\ \hline {\large 1} & {\large 1} & {\large 0} & \\ \hline {\large 1} & {\large 1} & {\large 1} & \\ \hline \end{tabular}
Autrement dit, nous avons 8 cases dans chacune desquelles il faut placer un 1 ou un 0. Deux choix à chaque case. Comme il y a 8 cases, cela donne 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = \mathbf{256} possibilités différentes. On peut schématiser cela de la façon suivante, en mettant oui si l’on prend 1, non si l’on prend 0. Schemas_1_p_20
  • Devons-nous construire 256 circuits logiques différents pour exprimer, à la sortie, ces 256 « programmes » ? Non, car on démontre que tout s’exprime à l’aide uniquement de et, ou ou non. Ainsi, par exemple, soit X le « programme », la « proposition logique », définie par la table ci-dessous :

     \begin{tabular}{|c|c|c||c|c|c|} \cline{1-4} \cline{6-6} {\large $A$} & {\large $B$} & {\large $C$} & {\large $X$} & & \\ \cline{1-4} \cline{6-6} {\large 0} & {\large 0} & {\large 0} & 1 & $\rightarrow$ & % \begin{minipage}[c]{1cm}% \smallskip{} $\overline{A}\;\overline{B}\;\overline{C}$\smallskip{} \end{minipage}\\ \cline{1-4} \cline{6-6} {\large 0} & {\large 0} & {\large 1} & 0 & & \\ \cline{1-4} \cline{6-6} {\large 0} & {\large 1} & {\large 0} & 0 & & \\ \cline{1-4} \cline{6-6} {\large 0} & {\large 1} & {\large 1} & 1 & $\rightarrow$ &% \begin{minipage}[c]{1cm}% \smallskip{} $\overline{A}BC$\smallskip{} % \end{minipage}\tabularnewline \cline{1-4} \cline{6-6} {\large 1} & {\large 0} & {\large 0} & 0 & & \\ \cline{1-4} \cline{6-6} {\large 1} & {\large 0} & {\large 1} & 0 & & \\ \cline{1-4} \cline{6-6} {\large 1} & {\large 1} & {\large 0} & 1 & $\rightarrow$ & % \begin{minipage}[c]{1cm}% \smallskip{} $AB\overline{C}$\smallskip{} % \end{minipage}\tabularnewline \cline{1-4} \cline{6-6} {\large 1} & {\large 1} & {\large 1} & 0 & & \\ \cline{1-4} \cline{6-6} \end{tabular}\label{Prog_X} % \end{center}

    Comment exprimer X ? D’après les règles de calculs des produits et des produels (voir §3 et §4 ), il est immédiat que :

         \[ X=\left|\begin{array}{c} \bar{A}\bar{B}\bar{C}\\ \overline{A}BC\\ AB\overline{C}\end{array}\right|\]

    Cet exemple montre comment on opérera dans tous les cas.
  • Interprétation par montages électriques.
    • — Si l’on se rappelle que « et » est obtenu par un montage en série (§3) de deux interrupteurs et que « ou » s’obtient par un montage en parallèle (§ 4), alors le « montage » illustre le programme X ci-dessous. Schemas_p_21
  • Interprétations par l’ordinateur J.R. 01.
    • — Celles-ci sont immédiates dès que l’on sait que :
      1. à gauche (en regardant le pupitre de l’ordinateur J.R. 01) de chaque colonne de programmation (notée de 1 à 7) une fiche enfoncée dans un trou correspond, suivant la barrette A, B, C considérée, soit à A, soit à B, soit à C.
      2. à droite de chaque colonne de programmation, une fiche enfoncée correspond soit à \overline{A}, soit à \overline{B}, soit à \overline{C}.
      3. deux colonnes de programmation reliées à la même lampe de « sortie » correspond à « ou ».
      4. si l’on enfonce une fiche de part et d’autre d’une colonne de programmation on obtient soit A\overline{A}, soit B\overline{B} soit C\overline{C}, qui est toujours vraie, donc on neutralise soit A, soit B, soit C.
      Ainsi pour programmer l’ordinateur J.R.~01 selon le programme

          \[ X=\left|\begin{array}{c} \bar{A}\bar{B}\bar{C}\\ \overline{A}BC\\ AB\overline{C}\end{array}\right|\]

      • — on choisira trois colonnes de programmation, par exemple celles marquées 1, 2, 3 ;
      • — on reliera ces colonnes à la lampe X ;
      • — sur la colonne 1, on enfonce trois fiches : une à gauche sur A, une à gauche sur B, une à droite sur C (pour obtenir AB\overline{C}) ;
      • — sur la colonne 2, on enfonce trois fiches : une à droite sur A , une à gauche sur B, une à gauche sur C (pour obtenir \overline{A}BC)
      • — sur la colonne 3, on enfonce trois fiches : une à droite sur A, à droite sur B, une à droite sur C (\bar{A}\bar{B}\bar{C}).
      On obtient alors le programme ci-dessous (un rond plein indique une fiche enfoncée ; un rond « évidé » indique une absence de fiche).
    • Vérifié-le ! Pour cela :
    • Schemas_p_22
      • — Vous pouvez vous exercez ! Par exemple, écrivez la proposition définie par la table ci-contre.
      • — Construisez le programme correspondant sur l’ordinateur J .R. 01. Vérifiez-le.
      • — Donnez-vous une autre table de valeur et faites de même.
       \begin{tabular}{|c|c|c||c|} \hline {\large $A$} & {\large $B$} & {\large $C$} & {\large $X$}\tabularnewline \hline {\large 0} & {\large 0} & {\large 0} & 1\\ \hline {\large 0} & {\large 0} & {\large 1} & 0\tabularnewline \hline {\large 0} & {\large 1} & {\large 0} & 0\tabularnewline \hline {\large 0} & {\large 1} & {\large 1} & 1\tabularnewline \hline {\large 1} & {\large 0} & {\large 0} & 0\tabularnewline \hline {\large 1} & {\large 0} & {\large 1} & 0\tabularnewline \hline {\large 1} & {\large 1} & {\large 0} & 1\tabularnewline \hline {\large 1} & {\large 1} & {\large 1} & 0\tabularnewline \hline \end{tabular}
      Cet ordinateur est interactif, vous pouvez le programmer ! Vous pouvez utiliser l’ordinateur ci-contre en positionnant les barrettes sur « 0 » ou « 1 » au moyen des index Index_0Index_1N’oubliez pas d’alimenter le circuit en pressant le boutonOff  ==> OnVous pourrez ensuite établir d’autres tables de vérité en ajoutant ou en retirant des connexionsConnexionset en plaçant ou en enlevant des fils de liaisons :Liaisons
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