[shortcode-variables slug= »debut » contenu= »3. Savoir dire « ET » »
titre= »Algèbre de Boole
pour trois propositions »
gauche= »6cm »
droite= »6cm »]

  • Deux relations courantes entre les 256 propositions que l’on peut former avec trois propositions, permettent de simplifier certaines expressions et, surtout, de simplifier les circuits électriques correspondants. Ces formules sont :

        \[  \left|\begin{array}{c} AB\\ C\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} A\\ C\end{array}\right|\left|\begin{array}{c} B\\ C\end{array}\right| \]

        \[A\left|\begin{array}{c} B\\ C \\ \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} AB\\ AC\\ \end{array}\right| \]

    Les démonstrations des formules ci-dessus s’obtiennent soit à l’aide des diagrammes ensemblistes, soit, mieux, à l’aide des tables de valeur (voir ci-dessous).

  • Démonstration de la première formule.

         \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} {\large $A$} & {\large $B$} & {\large $C$} & $\left|\begin{array}{c} A\\ C\end{array}\right|$ & $\left|\begin{array}{c} B\\ C\end{array}\right|$ & AB & & $\left|\begin{array}{c} AB\\ C\end{array}\right|$ & & $\left|\begin{array}{c} A\\ C\end{array}\right|\left|\begin{array}{c} B\\ C\end{array}\right|$\\ \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} {\large 0} & {\large 0} & {\large 0} & 0 & 0 & 0 & & 0 & & 0\\ \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} {\large 0} & {\large 0} & {\large 1} & 1 & 1 & 0 & & 1 & & 1\\ \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} {\large 0} & {\large 1} & {\large 0} & 0 & 1 & 0 & & 0 & & 0\\ \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} {\large 0} & {\large 1} & {\large 1} & 1 & 1 & 0 & & 1 & & 1\\ \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} {\large 1} & {\large 0} & {\large 0} & 1 & 0 & 0 & & 0 & & 0\\ \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} {\large 1} & {\large 0} & {\large 1} & 1 & 1 & 0 & & 1 & & 1\\ \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} {\large 1} & {\large 1} & {\large 0} & 1 & 1 & 1 & & 1 & & 1\\ \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} {\large 1} & {\large 1} & {\large 1} & 1 & 1 & 1 & & 1 & & 1\\ \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{3}{c}{{\footnotesize $\uparrow$$\underline{\text Comparer}$$\uparrow$}}\\ \end{tabular}

  • Démonstration de la deuxième formule.

         \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} {\large $A$} & {\large $B$} & {\large $C$} & AB & AC & $\left|\begin{array}{c} B\\ C\end{array}\right|$ & & $A\left|\begin{array}{c} B\\ C\end{array}\right|$ & & $\left|\begin{array}{c} AB\\ AC\end{array}\right|$\\ \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} {\large 0} & {\large 0} & {\large 0} & 0 & 0 & 0 & & 0 & & 0\\ \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} {\large 0} & {\large 0} & {\large 1} & 0 & 0 & 1 & & 0 & & 0\\ \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} {\large 0} & {\large 1} & {\large 0} & 0 & 0 & 1 & & 0 & & 0\\ \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} {\large 0} & {\large 1} & {\large 1} & 0 & 0 & 1 & & 0 & & 0\\ \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} {\large 1} & {\large 0} & {\large 0} & 0 & 0 & 0 & & 0 & & 0\\ \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} {\large 1} & {\large 0} & {\large 1} & 0 & 1 & 1 & & 1 & & 1\\ \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} {\large 1} & {\large 1} & {\large 0} & 1 & 0 & 1 & & 1 & & 1\\ \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} {\large 1} & {\large 1} & {\large 1} & 1 & 1 & 1 & & 1 & & 1\\ \cline{1-6} \cline{8-8} \cline{10-10} \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{3}{c}{{\footnotesize $\uparrow$$\underline{\text Comparer}$$\uparrow$}}\\ \end{tabular}

  • Interprétations ensemblistes (voir aussi page 25).

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