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1. Phénomène binaire

Définition

Il est fréquent qu’un phénomène se traduise par l’existence de deux états différents et deux seulement.
Un tel phénomène est dit binaire.
Ainsi :

— un circuit électrique ne peut être qu’ouvert ou fermé ;

en logique mathématique, on ne considère, parmi les phrases ayant une signification, que celles dont on s’accorde à reconnaître qu’elles sont soit vraies, soit fausses. De telles phrases sont appelées propositions.

Paradoxe-menteur Par exemple :
« Paris est la capitale de la France » est une proposition (vraie) ;
« 2 + 2 = 5 » est une proposition (fausse) ;
« Si je dis : je mens, est-ce que je mens ? » n’est pas une proposition.

en mathématiques, un ensemble est défini lorsque, pour tout objet, on peut répondre par « oui » ou par « non » à la question : « Cet objet fait-il partie de l’ensemble ? ». De même, une propriété mathématique est soit vraie, soit fausse.

Ainsi, par exemple, on peut parler de :
– l’ensemble des lettres a, b, c et d. On note \{a, b, c, d\} cet ensemble ;
– l’ensemble des nombres entiers pairs.
On ne peut pas parler de « l’ensemble des personnes intelligentes » car … chacun voudrait faire partie de cet ensemble et, cependant, chacun reconnaît qu’il y a partout des… imbéciles !

dans la numération binaire, les seuls chiffres utilisés sont le 0 et le 1. Par suite, dans l’écriture d’un nombre entier, la suite des chiffres ne contient que des 0 ou des 1 (voir système binaire).
Exemples :

  • zéro sera noté 0 ; un sera noté 1 ;
  • deux est formé d’ une paire et de zéro unité ; il est noté 10 (lire « un, zéro ») ;
  • trois est formé d’une paire et de une unité ; il est noté 11 (lire « un, un ») ;
  • quatre est formé d’une « paire de paires », zéro paire, zéro unité ; il est donc noté 100 (lire « un, zéro, zéro » ) ;
  • cinq est formé d’une « paire de paires », zéro paire, une unité ; « il est donc noté 101 (lire « un, zéro, un »).
  • Alors : six est noté 110 ; sept : 111 ; huit : 1000 ; neuf : 1001 ; dix  : 1010 ; onze : 1011 ; etc.

Représentations d’un phénomène binaire
Soit A un phénomène binaire. Puisque A ne prend que deux états s’excluant mutuellement (soit vrai, soit faux) , on affecte à l’un des états la valeur 0 (en général, à la fausseté), à l’autre état la valeur 1 (en général, à la vérité).

pour un montage électrique :
Dans cette figure, M et N sont les deux bornes d’un circuit électrique. Le contact — noté A — si A est le phénomène qu’il « représente » est ouvert au repos (le courant ne passe donc pas et la lampe X reste éteinte) et, dans cette position, il correspond à l’état 1 du phénomène A. Lorsque l’on actionne le contact a, alors le courant passe et, dans cette position, le contact correspond à l’état 1 du phénomène A et la lampe X s’allume.
Il importe de remarquer que, dans les représentations des montages électriques, tous les contacts sont considérés à l’état de repos, c’est-à-dire non actionnés.– en logique, on dresse la table de valeur, ou de vérité, de chaque proposition, de la façon ci-contre pour la proposition A.
Phenomene_binaire_a
(V pour vrai ; F pour faux).

en mathématiques, on schématise les ensembles que l’on considère de l’une ou l’autre des manières ci-dessous. (Nous avons schématisé l’ ensemble des lettres de l’alphabet français).

Lettres de l’alphabet

voyelles
a
e, i
o, u
y
consonnes
b, c, d, f, g,
h, j, k, l, m,
n,p, q, r, s,
t, v, w, x, z.

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