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II-13 Notice 11 : commande automatique

Notice 12

En rang par trois ou... le jeu du trio

II-15. Notice 13 : Où JR02 se transforme en… professeur
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  • Analyse du problème.L’adversaire de l’ordinateur J. R. 01 a, au cours du jeu, 8 possibilitésdifférentes de jouer, à savoir :
    • placer sa première pièce (une façon) ;
    • placer sa deuxième pièce (deux façons : case voisine de la pièce deJ. R.01 ou case non voisine de la pièce de J. R. 01) ;
    • placer sa troisième pièce (quatre façons) ;
    • déplacer une pièce.
    Puisqu’il y a 8 possibilités et 8 seulement, il est possible de les coder, en système binaire, à l’aide de 3 informations binaires A, B, C.
    Nous avons choisi, par convention, le code suivant (tout autre code est valable ; amusez-vous à changer de code alors ce qui suit sera changé et… vous aurez un autre programme pour le même jeu… ).
  •  $\begin{specifications}% [label={}] \item{-- pièce 1 (de l'adversaire de J.R.01) :} 001 \item{-- pièce 2 (de l'adversaire de J:R.01) : \\       en case voisine de la pièce de J.R.01} 110  \item  {\qquad en case éloignée de la pièce de J.R.01} 010 \item {-- pièce 3 (de l'adversaire de J.R. 01) :\\         en case voisine de la 2e pièce de J.R.01} 101  \item  {\qquad en case éloignée de la 2e pièce de J.R.01} 011  \item  {\qquad les trois pièces du même côté\\         d'un axe de symétrie de la plaque carrée}  100  \item  {\qquad trio (les 3 pièces alignées) :} 111  \item  {-- déplacement d'une pièce}: 000 \end{specifications}$

    Quel doit être alors le jeu de l’ordinateur J.R. 01 ?
    Nous devons étudier tous les cas. Pour faciliter cette étude nous allons utiliser des figures (1 à 3-d ci-dessous) et le code suivant : numéros 1, 2, 3 pour les pièces de l’adversaire de J.R.01, ces pièces étant représentées par un ▲ ; numéros 1′, 2′,3′ pour celles de J.R.01, ces pièces étant représentées par un ●.
    On obtient ainsi pour le J.R.01 qui doit chercher à « coincer » son adversaire :
    • Au premier coup, la disposition fig. 1.
    • Au deuxième coup, la disposition 2-a ou une autre, par exemple 2-b. Schema_1_p_56
    • Au troisième coup, les quatre possibilités sont représentées sur les figures 3-a, 3-b, 3-c, 3-d.Schema_2_p_56Dans le cas 3-d, l’adversaire enlèvera une plece du J.R. 01. La réponse de celui-ci devra être de « remplacer la pièce enlevée » et l’adversaire sera coincé… et battu.Dans le cas 3-a, on montre que le jeu n’a pas de gagnant !Quoi qu’il en soit, le \textbf{jeu} du J.R.01 comporte quatre possibilités :
    • se placer en case voisine de la dernière pièce posée par l’adversaire ;
    • se placer en case voisine de telle sorte que les 4 pièces considérées (1-1′ – 2-2′ ou 2-2′ – 3-3′) forment un parallélogramme (fig. 2-b ou 3-b ou 3-c) ;
    • remplacer la pièce enlevée ;
    • poursuivre la pièce déplacée par l’adversaire.Pour traduire ces 4 possibilités, il est commode d’avoir 4 sorties : on utilisera alors les lampes V, X, Y, Z. Chaque possibilité va être codée, par convention, de la façon suivante :  $\begin{specifications}%  \item {se placer en case voisine :} 1000 \item {se placer en case voisine de telle sorte que :} 0100 \item {remplacer la pièce enlevée :} 0010  \item {poursuivre :} 0001 \end{specifications}$
    On obtient alors la table de valeur ci-dessous.

     \begin{tabular}{r|r|c|c||c|c|c|c|l} \multicolumn{1}{r}{} & \multicolumn{3}{c}{\textsf{\large{}$\begin{array}{c} {\scriptstyle \mathrm{entr\acute{e}e}}\\ {\scriptstyle \mathrm{(adversaire)}}\\ \overbrace{\qquad\qquad} \end{array}$}} & \multicolumn{4}{c}{\textsf{\large{}$\begin{array}{c} {\scriptstyle  \mathrm{sortie}}\\ {\scriptstyle  \mathrm{(JR01)}}\\ \overbrace{\qquad\qquad\qquad} \end{array}$}} & \\ \cline{2-8}   & A & B & C  &  V  & X & Y  & Z  & \\ \cline{2-8}  \multicolumn{1}{r|}{1e pièce~~ $\longrightarrow$} & \multicolumn{1}{c|}{0} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & {\scriptsize{}« en case voisine »}\\ \cline{2-8}  \multicolumn{1}{r|}{\multirow{2}{2.5cm}{2e pièce $\rightarrow$ \vbox{\hsize=.5mm $\quad \left\lbrace\vbox to 4mm{}\right.$}}}  & \multicolumn{1}{c|}{1} & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \\ \cline{2-8}  \multicolumn{1}{r|}{} & \multicolumn{1}{c|}{0} & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & {\scriptsize{}« en case voisine de telle sorte\dots{} »}\\ \cline{1-8}  \multicolumn{1}{r|}{\multirow{4}{2.5cm}{3e pièce $\rightarrow$\vbox{\hsize=.5mm $\quad\left\lbrace\vbox to 7mm{}\right.$}}}  %\multicolumn{1}{r|}{\multirow{4}{2cm}{3e pièce {$\rightarrow$} %\vbox{\hsize=.2mm $\!\!\!\!\!\!\!\!\left\lbrace\vbox to 7mm{}\right.$}}}  & \multicolumn{1}{c|}{1} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & \\ \cline{2-8}  \multicolumn{1}{r|}{} & \multicolumn{1}{c|}{0} & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & \\ \cline{2-8}  \multicolumn{1}{r|}{} & \multicolumn{1}{c|}{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \\ \cline{2-8}  \multicolumn{1}{r|}{} & \multicolumn{1}{c|}{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & {\scriptsize{}« remplacer la pièce enlevée »}\\ \cline{2-8}  \multicolumn{1}{r|}{déplacement~~{\Large{}$\rightarrow$}} & \multicolumn{1}{c|}{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & {\scriptsize{}« poursuivre »}\\ \cline{2-8}  \end{tabular}

  • Expressions algébriques. Vous savez écrire immédiatement que V=\left|\begin{array}{c} \overline{A}\;\overline{B}C\\ AB\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ A\;\overline{B}\;\overline{C} \end{array}\right| \qquad X=\left|\begin{array}{c} \overline{A}B\overline{C}\\ \overline{A}BC \end{array}\right| \qquad Y=ABC \qquad Z=\overline{A}\;\overline{B}\;\overline{C}
  • Simplifications.
    • — En regroupant les 1er et 3e termes d’une part, 2e et 4e d’autre part V=\left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\;\overline{B}C\\ AB\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ A\;\overline{B}\;\overline{C} \end{array}\right| =  \left|\begin{array}{c} \left|\begin{array}{c} \overline{A}\\ A \end{array}\right|\overline{B}C\\ A\overline{C}\left|\begin{array}{c} B\\ \overline{B} \end{array}\right| \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \overline{B}C\\ A\overline{C} \end{array}\right| ;
    • — Pour X=\left|\begin{array}{c} \overline{A}B\left|\begin{array}{c} C\\ \overline{C} \end{array}\right|\end{array}\right|=\overline{A}B ;
    • — Pour Y et Z, il n’y a pas de simplifications possibles.
  • 5° Schéma du programme. Dessinez-le. Vous obtiendrez celui de la notice \fbox{12}
  • Un jeu… déduit de ce jeu ! Puisque le jeu du J.R.01 n’a que 4 possibilités, deux sorties suffisent ! Soit X et Y ces sorties.
    Codez, à votre convenance, 00, 01 , 10, 11, les quatre possibilités indiquées. Dressez la nouvelle table de valeurs. Écrivez les nouvelles expressions algébriques. Indiquez le nouveau programme obtenu. Réalisez-le… et comparez…
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