II-11 Notice 8 : Douze gagne

Notice 9 et 10

Jeu de cartes et stratégie

II-13 Notice 11 : commande automatique
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  • Analyse du problème

     \begin{tabular}{>{\raggedright}m{6cm}c} \begin{raggedright} \textbf{-- Si l'ordinateur} J.R.01 \textbf{joue le} \textbf{premier}, la « matrice » ci-contre indique le bilan, \textbf{pour l'ordinateur} J.R.01, en points, gagnés ou perdus, quand on compare les cartes.  \par\end{raggedright}  Soit \textbf{x le nombre} de cartes «\textbf{ trois de carreau} » que choisit l'ordinateur J.R.01. Il y aura alors ($6-\mathbf{x}$) « trois de trèfle ».  & % \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \cline{3-4}  \multicolumn{1}{c}{} &  & \multicolumn{2}{c|}{{\footnotesize{}adversaire}}\\ \cline{3-4}  \multicolumn{1}{c}{} &  & {\footnotesize{}cinq de} & {\footnotesize{}as de }\\ \multicolumn{1}{c}{} &  & {\footnotesize{}carreau} & {\footnotesize{}trèfle}\\ \hline   & {\footnotesize{}trois de } &  & \\ {\footnotesize{}JR01} & {\footnotesize{}carreau} & {\footnotesize{}3} & {\footnotesize{}-1}\\ \cline{2-4}   & {\footnotesize{}trois de } &  & \\  & {\footnotesize{}trèfle} & {\footnotesize{}-5} & {\footnotesize{}3}\\ \hline  \end{tabular}\\ \end{tabular}

    Le bilan pour l’ordinateur J.R.01 est alors : 3\mathbf{x}-5(6-\mathbf{x}) dans le cas où l’adversaire choisit le « cinq de carreau » et -\mathbf{x}+3(6-\mathbf{x}) s’il choisit « l’as de trèfle ». Le gain sera le même, pour J.R.01, si

        \[ 3\mathbf{x}-5(6-\mathbf{x})=\mathbf{-x}+3(6-\mathbf{x}) \]

    On obtient \mathbf{x}=4. L’ordinateur J.R.01 doit donc choisir 4 cartes « trois de carreau » et 2 cartes « trois de trèfle ». Son gain sera alors toujours de

        \[ 3\times2-5(6-2)=2 \; \mathrm{points} \]

    • Si l’adversaire de J.R. 01 joue le premier.
    • S’il ne place pas de trèfles, il est clair que le J.R. 01 doit choisir « trèfle ».
    • S’il place un seul trèfle, le J.R.01 a encore avantage à choisir « trèfle ».
    • S’il place deux cartes « trèfle » ou plus, le calcul montre que le J.R. 01 doit choisir un « carreau ».
    Le problème est donc résolu.
    Mais… l’ordinateur J.R. 01 peut faire beaucoup mieux c’est-à-dire offrir plus de stratégies différentes (notice \fbox{10}). Aussi a-t-on cherché à ne faire qu’un seul pro­gramme pour les quatre jeux présentés sur les notices \fbox{9} et \fbox{10}. L’étude de tous les cas vous conduira à la table de valeurs ci-dessous.
  • Table de valeurs.

     \begin{tabular}{rrr|r|c|c||c|c|c|c} \multicolumn{1}{c}{\textsf{\large{}$ $}} & \multicolumn{1}{c}{\textsf{\large{}$ $}} & \multicolumn{1}{c}{\textsf{\large{}$ $}} & \multicolumn{3}{c}{\textsf{\large{}$\begin{array}{c} {\scriptscriptstyle entr\acute{e}e}\\ \overbrace{\qquad\qquad} \end{array}$}} & \multicolumn{3}{c}{\textsf{\large{}$\begin{array}{c} {\scriptscriptstyle sortie}\\ \overbrace{\qquad\qquad} \end{array}$}} & \\ \cline{4-9}   &  & \multirow{5}{2cm}{{\tiny{}nombre de cartes de trèfles placées {[}0, 1, 2 (3 ou plus)}} & \textsf{\Large{}A} & \textsf{\Large{}B} & \textsf{\Large{}C} & \textsf{\Large{}X} & \textsf{\Large{}Y} & \textsf{\Large{}Z} & \\ \cline{4-9}  \multicolumn{1}{c}{\multirow{4}{1.2cm}{{\tiny{}}% \begin{minipage}[t]{1.2cm}% \begin{singlespace} \noindent {\tiny{}l'adversaire joue le 1er}\end{singlespace} \end{minipage}}}  &  \multicolumn{1}{c}{\multirow{4}{1mm}{ $\left\updownarrow\vbox to 9mm{}\right.$} }  & \multicolumn{1}{c|}{}  & \multicolumn{1}{c|}{{\large{}0}} & {\large{}0} & {\large{}0} & {\large{}0} & {\large{}0} & {\large{}0} & \multirow{4}{2.1cm}{{\tiny{}carte à choisir par JR01 « carreau » : 1 « trèfle » : 0}}\\ \cline{4-9}  \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{{\large{}0}} & {\large{}0} & {\large{}1} & {\large{}0} & {\large{}0} & {\large{}0} & \\ \cline{4-9}  \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{{\large{}0}} & {\large{}1} & {\large{}0} & {\large{}0} & {\large{}0} & {\large{}1} & \\ \cline{4-9}  \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{r|}{} & \multicolumn{1}{c|}{{\large{}0}} & {\large{}1} & {\large{}1} & {\large{}0} & {\large{}0} & {\large{}1} & \\ \hline  \hline  \multicolumn{1}{c}{\multirow{4}{1.2cm}{{\tiny{}JR01 joue le 1er}}} & \multicolumn{1}{c}{\multirow{4}{1mm}{$\left\updownarrow\vbox to 7mm{}\right.$}} & \multicolumn{1}{c|}{\multirow{4}{2cm}{{\tiny{}nombre total de cartes à placer (option 1 2 ou 3)}}} & \multicolumn{1}{c|}{{\large{}1}} & {\large{}1} & {\large{}0} & {\large{}1} & {\large{}0} & {\large{}0} & \multirow{3}{2.1cm}{{\tiny{}nombre de cartes de carreaux que doit jouer JR01}}\\ \cline{4-9}  \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{{\large{}1}} & {\large{}0} & {\large{}1} & {\large{}1} & {\large{}0} & {\large{}0} & \\ \cline{4-9}  \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{{\large{}1}} & {\large{}0} & {\large{}0} & {\large{}0} & {\large{}1} & {\large{}1} & \\ \cline{4-9}  \end{tabular}

  • Expressions algébriques. D’après la table ci-dessus vous montrerez aisément que

        \[ X=\left|\begin{array}{c} AB\overline{C}\\ A\overline{B}C \end{array}\right| \qquad Y=A\;\overline{B}\;\overline{C};  \qquad Z=\left|\begin{array}{c} \overline{A}B\overline{C}\\ \;\overline{A}BC\\ A\;\overline{B}\;\overline{C} \end{array}\right| \]

  • Simplification. Seule l’expression de Z se simplifie. On obtient Z=\left|\begin{array}{c} \overline{A}B\left|\begin{array}{c} \overline{C}\\ C \end{array}\right|\\ A\;\overline{B}\;\overline{C} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \overline{A}B\\ A\;\overline{B}\;\overline{C} \end{array}\right|
  • Schéma de programme. Cherchez à dessiner ce programme. Vous devez obtenir celui décrit dans la notice \fbox{9}
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Jouez
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