[shortcode-variables slug= »Notice » contenu= »1. Phénomène binaire »
gauche= »6cm »
number= »6″
titre= »Le jeu des trois verres »
droite= »6cm »]

  • Analyse du problème.

    Soit A, B, C les trois verres. Écrivons 1 si un verre se trouve dansla position « debout », écrivons 0 si un verre se trouve dans la position« renversée ».

    Les 8 possibilités (cas de 3 propositions) se réduisent immédiatement à… 4 (en « échangeant » le « nom » des verres). À savoir : 111 (les 3 verres sont « debout ») ; 010 (un verre, celui du milieu,
    si l’on veut, est « debout », les 2 autres renversés) ; 101 (deux verres « debout», un « renversé », celui du milieu; 000 (les trois verres sont « renversés ». Puisque nous avons droit à 3 manipulations
    de deux verres chaque fois, cela signifie que nous avons droit à 6changements de 0 en 1 ou de 1 en0.

    Par suite les cas 000 et 101 ne peuvent avoir de solution. En trois mani­pulations on ne peut obtenir que… 000 si l’on veut. Les cas 111 et 010 ont une solution.

    Laquelle ?

    • → Pour 111 , on passe d’abord à 001, puis à 010, puis à 111.
    • → Pour 010, on passe d’abord à 100, puis à 001, puis à 111.
  • Table de valeurs.

    Établissons-la pour 010. On obtient (d’après ce qui précède) :

     \begin{tabular}{|c|c|c||c|c|c|} \hline  \multicolumn{3}{|c||}{\textsf{\large{}$\begin{array}{c} entr\acute{e}e\\ \overbrace{\qquad\qquad} \end{array}$}} & \multicolumn{3}{c|}{\textsf{\large{}$\begin{array}{c} sortie\\ \overbrace{\qquad\qquad} \end{array}$}}\\ \hline  \textsf{\large{}A} & \textsf{\large{}B} & \textsf{\large{}C} & \textsf{\large{}X} & \textsf{\large{}Y} & \textsf{\large{}Z}\\ \hline  0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \hline  1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \hline  0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \hline  \end{tabular}

  • Expressions algébriques.
    • — La lampe X doit s’allumer si X=1 c’est-à-dire sur les lignes
      1 ou 3. Or la ligne 1 correspond à (A=0 \textbf{et} B=1
      et C=0) soit \overline{A}B\overline{C} et la ligne
      3 correspond à (A=0 \textbf{et} B=0 \textbf{et} C=1) soit
      \overline{A}\;\overline{B}C.

      Donc : X=\left|\begin{array}{c} \overline{A}B\overline{C}\\ \overline{A}\;\overline{B}C \end{array}\right|

    • — La lampe Y doit s’allumer si Y=1, c’est-à-dire sur la ligne
      3. On vient de voir que cette ligne correspond à \overline{A}\;\overline{B}C.

      Donc : Y=\overline{A}\;\overline{B}C.
    • — La lampe Z doit s’allumer si Z=1, c’est-à-dire sur les lignes
      2 ou 3.

      La ligne 2 correspond à (A=1 et B=0 et C=0), soit A\;\overline{B}\;\overline{C}

      La ligne 3 correspond à (A=0 et B=0 et C=1), soit à \overline{A}\;\overline{B}C

      Donc : Z=\left|\begin{array}{c} A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ \overline{A}\;\overline{B}C \end{array}\right|

  • Simplifications.

    Il n’y en a pas.

  • Schéma de programme.
    • — Pour « alimenter » la lampe X, il faut deux « colonnes de programmation ». Nous avons choisi les colonnes 2 et 3. Sur la colonne 2, on a réalisé \overline{A}B\overline{C}. Sur la colonne 3, \overline{A}\;\overline{B}C.
      D’où X=\left|\begin{array}{c} \overline{A}B\overline{C}\\ \overline{A}\;\overline{B}C \end{array}\right|
    • — Pour Y, une seule colonne suffit. Nous avons choisi la colonne
      4 sur laquelle on a écrit Y=\overline{A}\;\overline{B}C.
    • — Pour Z, il faut deux branchements en parallèles. On choisit les
      « colonnes de programmation » 5 et 6. Sur 5 on a réalisé A\;\overline{B}\;\overline{C}
      et sur 6, \overline{A}\;\overline{B}C . Donc on a bien Z=\left|\begin{array}{c} A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ \overline{A}\;\overline{B}C \end{array}\right|
    • — Ceci justifie le programme donné dans la notice \fbox{6}.
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    gauche= »25% »
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