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II-7 Notice 4 : … et l’étoile reste seule

Notice 5

Un jeu de dé

II-9 Notice 6 : Le jeu des trois verres
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  • Analyse du problème. On connaît le total des trois nombres sans aucun renseignement sur les deux derniers, parce que la somme de ces deux derniers est toujours 7. En effet, sur un dé, la somme des nombres portés sur deux faces opposées est 7 (1 + 6 ou 2 + 5 ou 3 + 4).
    Par suite, pour obtenir la table de valeur, il suffit de reprendre celle de la notice\fbox{1} (§ 4) et d’ajouter 7 aux nombres écrits à la sortie, en remarquant que :
    • — le cas A=1, B=1, C=1 qui correspond à l’apparition (ou au choix dans le cas de la notice \fbox{1} du nombre 0 ne peut se produire ;
    • — d’autre part, le cas A=0, B=0, C=1 qui correspond, à la sortie (voir § 4), au nombre 7, ne peut pas se produire non plus. (Sur un dé les faces sont numérotées de 1 à 6) .

    La table de valeur n’a que six lignes (1^{\grave{e}re} et 8^{\grave{e}me}lignes exclues).
  • Table de valeurs.
    On prend donc celle du § 4 et on ajoute, à la sortie, 7 (c’est-à-dire 111 en binaire) sur chaque ligne (voir 1^{\grave{e}re} partie,§ 10). Ainsi :
    • 1^{\grave{e}re} ligne : 001+111=1000
    • 2^{\grave{e}me} ligne : 010+111=1001
    • 3^{\grave{e}me} ligne : 011+111=1010
    • 4^{\grave{e}me} ligne : 100+111=1011
    • ^{\grave{e}me} ligne : 101+111=1100
    • 6^{\grave{e}me} ligne : 110+111=1101
    Ces résultats montrent qu’à la sortie il est nécessaire d’utiliserquatre lampes. On utilisera donc la lampe V.

     \definecolor{lgray}{gray}{0.8} \begin{tabular}{|c|c|c|@{}c@{$\;$}|c|c|c|c|} \multicolumn{3}{c}{\begin{tabular}{c} entrée \\ $\overbrace{\qquad\qquad\quad}$\\ \end{tabular}} & \multicolumn{1}{c@{$\;$}}{}  & \multicolumn{4}{c}{\begin{tabular}{c} sortie \\ $\overbrace{\qquad\qquad\qquad}$\\ \end{tabular}}\\ \cline{1-3}\cline{5-8} \textsf{\large{}A} & \textsf{\large{}B} & \textsf{\large{}C} & & \textsf{\large{}V} & \textsf{\large{}X} & \textsf{\large{}Y} & \textsf{\large{}Z}\\ \cline{1-3}\cline{5-8} {\cellcolor{lgray} 1 } & {\cellcolor{lgray} 1 } & {\cellcolor{lgray} 1 } & &{\cellcolor{lgray} } & {\cellcolor{lgray} } & {\cellcolor{lgray} } & {\cellcolor{lgray} } \\ \cline{1-3}\cline{5-8} 0 & 1 & 1 & & 1 & 0 & 0 & 0\\ \cline{1-3}\cline{5-8} 1 & 1 & 0 & & 1 & 0 & 0 & 1\\ \cline{1-3}\cline{5-8} 0 & 1 & 0 & & 1 & 0 & 1 & 0\\ \cline{1-3}\cline{5-8} 1 & 0 & 0 & & 1 & 0 & 1 & 1\\ \cline{1-3}\cline{5-8} 0 & 0 & 0 & & 1 & 1 & 0 & 0\\ \cline{1-3}\cline{5-8} 1 & 0 & 1 & & 1 & 1 & 0 & 1\\ \cline{1-3}\cline{5-8} {\cellcolor{lgray} 0 } & {\cellcolor{lgray} 0 } & {\cellcolor{lgray} 1 } & &{\cellcolor{lgray} } & {\cellcolor{lgray} } & {\cellcolor{lgray} } & {\cellcolor{lgray} } \\ \cline{1-3}\cline{5-8} \end{tabular}

  • Expressions algébriques.
    • V prend toujours la valeur 1.
    • X=1 sur les lignes 5 ou 6, c’est-à-dire si (A=0 et B=0 etC=0) ou (A=1 et B=0 et C=1).
      Ceci correspond à : X=\left|\begin{array}{c} \overline{A}\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C \end{array}\right|
    • Y=1 sur les lignes 3 ou 4, ce qui correspond à :

           \begin{tabular}{cc}  & ($A=0$ et $B=1$ et $C=0$) \\ ou & ($A=1$ et $B=0$ et $C=0$) \\ \end{tabular} soit $$Y=\left| \begin{array}{c}              \overline{A}B\overline{C}\\               A\;\overline{B}\;\overline{C}\\           \end{array} \right|$$

    • Z=1 sur les lignes 2 ou 4 ou 6. C’est-à-dire :

           \begin{tabular}{cc}  & ($A=1$ et $B=1$ et $C=0$)\tabularnewline ou &  ($A=1$ et $B=0$ et$C=0$) \tabularnewline ou &  ($A=1$et $B=0$ et $C=1$) \tabularnewline \end{tabular} soit : $$Z=\left|\begin{array}{c} AB\overline{C}\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C \end{array}\right|$$

  • Simplifications (voir }1^{\grave{e}re} partie, § 6 et 8). Seule l’expression de Z se simplifie. On obtient :

        \[ Z=A\left|\begin{array}{c} B\overline{C}\\ \overline{B}\;\overline{C}\\ \overline{B}C \end{array}\right|=A\left|\begin{array}{c} \overline{B}\\ \overline{C} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} A\overline{B}\\ A\overline{C} \end{array}\right| \]

  • Schéma du programme (voir notice \fbox{5})
    • La lampe V doit être toujours allumée. Nous l’avons donc reliée à une colonne de programmation (la colonne 1) en plaçant des fiches qui « neutralisent » A, B, C. D’où V toujours allumée.
    • La lampe X doit être reliée à \textbf{deux} colonnes de programmation. Nous avons choisi les colonnes 2 et 3. Sur 2, nous avons représenté \overline{A}\;\overline{B}\;\overline{C} ; sur 3, A\overline{B}C. D’où X=\left|\begin{array}{c} \overline{A}\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C \end{array}\right|
    • La lampe Y doit être reliée à \textbf{deux} colonnes de programmation. Nous avons choisi les colonnes 4 et 5. Sur 4, nous avons réalisé \overline{A}B\overline{C}et sur la 5, A\;\overline{B}\;\overline{C}. D’où Y=\left|\begin{array}{c} \overline{A}B\overline{C}\\ A\;\overline{B}\;\overline{C} \end{array}\right|
    • De même la lampe Z doit être reliée à deux colonnes de programmation. Sur la colonne 6, nous avons réalisé A\overline{C} (B est « neutralisée ») ; sur 7, nous obtenons A\overline{B} (C est « neutralisée »). Donc Z=\left|\begin{array}{c} A\overline{B}\\ A\overline{C} \end{array}\right|
    • Ceci justifie le schéma de programme présenté sur la notice \fbox{5}.
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Jouez
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