II-7 Notice 4 : … et l’étoile reste seule

II-6. Notice 3 : Le jeu des sept allumettes

Notice 4

... et l'étoile reste seule

1° Analyse du problème.Le parcours 1, 2, 3 (figure ci-dessous) est une solution.
2° Tables de valeurs.On met à « l’entrée » le « code » de la pièce qui fait je saut (ou de celle qui vient d’être enlevée), pour obtenir à la sortie celle qui « est enlevée » (ou de celle qui doit « sauter ») .
— Au départ, on ne sait rien. On mettra 000 (c’est-à-dire $A=0$ , $B=0$ , $C=0$ ) et on doit obtenir 001 (« code » de l’étoile). Celie-ci doit donc « sauter ».
— À l’entrée, on met donc 001 ( $A=0$ , $B=0$ , $C=1$ ) et l’on doit obtenir, à la sortie, 100 (le code des « carrés »). On enlève donc le carré situé au-dessus de l’étoile. Puis les autres.
— À l’entrée, on met 100 (le code du carré enlevé) et on veut obtenir 011 (le code du « cercle »). Celui-ci « saute » donc.
A l’entrée, on met 011…
Ceci conduit à la table ci-dessous.

$\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|c|c|cl} \multicolumn{3}{c}{\textsf{\large{}$\begin{array}{c} entr\acute{e}e\\ \overbrace{\qquad\qquad} \end{array}$}} &\multicolumn{1}{c}{} &\multicolumn{3}{c}{\textsf{\large{}$\begin{array}{c} sortie\\ \overbrace{\qquad\qquad} \end{array}$}} & & \tabularnewline \cline{1-3} \cline{5-7} A & B & C & & X & Y & Z & & \tabularnewline \cline{1-3} \cline{5-7} \multicolumn{1}{|c|}{0} & 0 & 0 & & 0 & 0 & 1 & {\Large{}$\rightarrow$} & Qui fait le saut\tabularnewline \cline{1-3} \cline{5-7} \multicolumn{1}{|c|}{0} & 0 & 1 & & 1 & 0 & 0 & {\Large{}$\rightarrow$} & Qui est enlevée\tabularnewline \cline{1-3} \cline{5-7} \multicolumn{1}{|c|}{1} & 0 & 0 & & 0 & 1 & 1 & {\Large{}$\rightarrow$} & Qui saute\tabularnewline \cline{1-3} \cline{5-7} \multicolumn{1}{|c|}{0} & 1 & 1 & & 1 & 0 & 1 & {\Large{}$\rightarrow$} & Enlevée\tabularnewline \cline{1-3} \cline{5-7} \multicolumn{1}{|c|}{1} & 0 & 1 & & 0 & 1 & 0 & {\Large{}$\rightarrow$} & Qui saute\tabularnewline \cline{1-3} \cline{5-7} \multicolumn{1}{|c|}{0} & 1 & 0& & 0 & 1 & 1 & {\Large{}$\rightarrow$} & Enlevée\tabularnewline \cline{1-3} \cline{5-7} \end{tabular}$

3° Expressions algébriques.
- $X=1$ sur les lignes 2 et 4. Parere suite $X=\left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\;\overline{B}C\\ \overline{A}BC \end{array}\right|$
- $Y=1$ sur les lignes 3, 5 et 6. Par suite $Y=\left|\begin{array}{c} A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ \overline{A}B\overline{C} \end{array}\right|$
- $Z=1$ sur les lignes 1, 3, 4 et 6. Par suite $Z=\left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ \overline{A}BC\\ \overline{A}B\overline{C} \end{array}\right|$
4° Simplifications (voir 1 $^{\grave{e}re}$ partie, § 6 et 8). } $X=\left|\begin{array}{c} \overline{A}C\overline{B}\\ \overline{A}CB \end{array}\right|=\overline{A}C\left|\begin{array}{c} \overline{B}\\ B \end{array}\right|=\overline{A}C$ $Y=\left|\begin{array}{c} A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ \overline{A}B\overline{C} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} A\overline{B}\left|\begin{array}{c} \overline{C}\\ C \end{array}\right|\\ \overline{A}B\overline{C} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} A\overline{B}\\ \overline{A}B\overline{C} \end{array}\right|$ \par\end{flushright}

$Z=\left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ \overline{A}BC\\ \overline{A}B\overline{C} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\\ A \end{array}\right|\;\overline{B}\;\overline{C}\\ \overline{A}B\left|\begin{array}{c} C\\ \overline{C} \end{array}\right| \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \;\overline{B}\;\overline{C}\\ \overline{A}B \end{array}\right|$
5° Programme Il est très simple.
- — Pour « alimenter » la lampe $X$ , il suffit d’une « colonne » de programmation.Nous avons choisi la colonne 2. La barrette B est « neutralisée » par deux fiches et les deux autres, placées sur les barrettes $A$ et $C$ , correspondent à $\overline{A}C$
- — Pour $Y$ , deux colonnes sont nécessaires (puisqu’il n’y a qu’un « ou »)Nous avons choisi les « colonnes » 3 et 4 . Sur 3, on a « neutralisé » $C$ avec deux fiches ; les deux autres correspondent à $A\overline{B}$ . Sur 4, on a représenté $\overline{A}B\overline{C}$ à l’aide des trois fiches enfoncées (celles des barrettes $A$ et $C$ à droite. pour « écrire » $\overline{A}$ et $\overline{C}$ celle de la barrette $B$ à gauche pour écrire $B$ ).
- Pour $Z$ , deux colonnes sont nécessaires. On a programmé sur les colonnes 5 et 6. Sur la colonne 5 est programmé $\;\overline{B}\;\overline{C}$ . Sur la colonne 6, est programmé $\overline{A}B$ .
- Ceci justifie le programme présenté sur la notice $\fbox{4}$