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II-5. Notice 2 : Le logicien.

Notice 3

Le jeu des sept allumettes

II-7 Notice 4 : … et l’étoile reste seule
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  • Analyse du problème.
    Pour que l’ordinateur J.R. 01 gagne, « doit arriver le premier à la somme 7 (en binaire 111) dans la deuxième phase. Pour s’assurer de cela, il doit d’abord arriver premier au total de 4, qui lui permettra de compléter toujours 7 quel que soit le jeu de l’adversaire (1 ou 2 allumettes remises). Pour s’assurer le total de 4, « doit être le premier à mettre 1, ce qui veut dire que l’ordinateur J .R. 01 doit être le premier à jouer dans la deuxième phase (qui consiste à remettre les allumettes sur la table, allumettes qui ont été enlevées durant la première phase).
    Donc, dans la première phase, il faut que l’ordinateur J.R. 01 arrive à laisser sur la table la dernière allumette que l’adversaire est obligé de prendre. Pour s’assurer cette position, l’ordinateur J.R.01 devra d’abord arriver à enlever 3 allumettes de la première phase, choisissant de prendre, soit une, soit deux allumettes (donc l’ordi­nateur J.R. 01 gagnera toujours si l’adversaire est le premier à jouer).
    Si, au contraire, c’est le J.R. 01 qui commence, la stratégie dans la préparation du programme sera celle d’essayer de le faire arriver, plus tôt ou plus tard, sur un des totaux stratégiques 3 ou 6 dans la première phase, 1 ou 4 dans la deuxième. Chaque fois que ceci se vérifie, le J. R. 01 gagne.
  • Table de valeurs.
    Les informations A, B, C à l’entrée concernent le jeu de « l’adversaire », à la sortie X, Y, Z concernent le J.R.01.
    • — Si A=0, B=0, C=0 (c’est-à-dire si J.R. 01 commence, il enlèveune allumette (X=0, Y=0, Z=1) (1^{\grave{e}re} ligne dela table).
    • Si A=0, B = 0, C=1 (une allumette enlevée par l’adversaire),J.R. 01 doit arriver au total de 3 donc X=0, Y=1, Z=1 (car,en binaire, 011 équivaut à 3) (2^{\grave{e}me} ligne de la table,page suivante).
     \begin{tabular}{r|r|c|c||c|c|c|} \multicolumn{1}{r}{} & \multicolumn{3}{c}{\textsf{\large{}$\begin{array}{c} entr\acute{e}e\\ {\scriptstyle {\scriptscriptstyle (adversaire)}}\\ \overbrace{\qquad\qquad} \end{array}$}} & \multicolumn{3}{c}{\textsf{\large{}$\begin{array}{c} sortie\\ (\mathsf{JR01})\\ \overbrace{\qquad\qquad} \end{array}$}}\tabularnewline \cline{2-7}   & \textsf{\large{}A} & \textsf{\large{}B} & \textsf{\large{}C} & \textsf{\large{}X} & \textsf{\large{}Y} & \textsf{\large{}Z}\tabularnewline \cline{2-7}  \multicolumn{1}{r|}{} & \multicolumn{1}{c|}{0} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\tabularnewline \cline{2-7}  \multicolumn{1}{r|}{} & \multicolumn{1}{c|}{0} & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\tabularnewline \cline{2-7}  \multicolumn{1}{r|}{} & \multicolumn{1}{c|}{0} & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\tabularnewline \cline{2-7}  \multicolumn{1}{r|}{} & \multicolumn{1}{c|}{0} & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\tabularnewline \cline{2-7}  \multicolumn{1}{r|}{} & \multicolumn{1}{c|}{1} & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\tabularnewline \cline{2-7}  \multicolumn{1}{r|}{} & \multicolumn{1}{c|}{1} & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\tabularnewline \cline{2-7}  \multicolumn{1}{r|}{5 ou 6 dans la 2$^{\grave{e}me}$ phase {\Large{}$\rightarrow$}} & \multicolumn{1}{c|}{1} & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\tabularnewline \cline{2-7}  \multicolumn{1}{r|}{2 dans la 2$^{\grave{e}me}$ phase {\Large{}$\rightarrow$}} & \multicolumn{1}{c|}{1} & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\tabularnewline \cline{2-7}  \end{tabular}
  • Expressions algébriques.
    La lampe X est allumée (X=1) lorsque (Iignes 5 à 8)

     \begin{tabular}{cc}  & ($A=0$ et $B=1$ et $C=1$) \tabularnewline \textbf{ou}  & ($A=1$ et $B=0$ et $C=0$) \tabularnewline \textbf{ou}  & ($A=1$ et $B=0$ et $C=1$) \tabularnewline \textbf{ou} & ($A=1$ et $B=1$ et $C=0$) \tabularnewline \textbf{ou} & ($A=1$ et $B=1$ et $C=1$) \tabularnewline \end{tabular} c’est-à-dire : X=\left|\begin{array}{c} \overline{A}BC\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ AB\;\overline{C}\\ ABC \end{array}\right| De même pour Y=1 (lignes 2, 3, 5, 6,7), d’une part, et Z=1 (lignes 1, 2, 3, 7), d’autre part :
    on a : Y=\left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\;\overline{B}C\\ \overline{A}B\overline{C}\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ AB\overline{C} \end{array}\right|  \qquad{} \qquad{} et \qquad{} Z=\left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\;\overline{B}\;\overline{C}\\ \;\overline{A}\;\overline{B}C\\ \overline{A}B\overline{C}\\ AB\overline{C} \end{array}\right|

  • Simplifications (voir 1^{\grave{e}re} partie, § 6 et 8).
    • Pour X, écrivons :

          \[  X=\left|\begin{array}{c} \overline{A}BC\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ AB\;\overline{C}\\ ABC \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} ABC\\ \overline{A}BC\\ AB\;\overline{C}\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} BAC\\ B\overline{A}C\\ BA\;\overline{C}\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} B\left|\begin{array}{c} AC\\ \overline{A}C\\ A\overline{C} \end{array}\right|\\ A\;\overline{B}\left|\begin{array}{c} C\\ \overline{C} \end{array}\right| \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} B\left|\begin{array}{c} A\\ C \end{array}\right|\\ A\;\overline{B} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} BC\\ A \end{array}\right| \]

    • — PourY, écrivons :

          \[ {\scriptstyle Y=\left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\;\overline{B}C\\ \overline{A}B\overline{C}\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ AB\overline{C} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \overline{A}B\overline{C}\\ A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ AB\overline{C}\\ \;\overline{A}\;\overline{B}C\\ A\overline{B}C \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \left|\begin{array}{c} \overline{A}B\\ A\;\overline{B}\\ AB \end{array}\right|\overline{C}\\ \left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\\ A \end{array}\right|\;\overline{B}C \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \left|\begin{array}{c} B\\ A \end{array}\right|\overline{C}\\ \;\overline{B}C \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \overline{C}B\\ \overline{C}A\\ \;\overline{B}C \end{array}\right|} \]

    • — Pour Z, écrivons :

          \[ Z=\left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\;\overline{B}\;\overline{C}\\ \;\overline{A}\;\overline{B}C\\ \overline{A}B\overline{C}\\ AB\overline{C} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\;\overline{B}\left|\begin{array}{c} \overline{C}\\ C \end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{c} \overline{A}\\ A \end{array}\right|B\overline{C} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\;\overline{B}\\ B\overline{C} \end{array}\right| \]

    • Schéma du programme (voir notice \fbox{3})}
      • Puisque X=\left|\begin{array}{c} BC\\ A \end{array}\right| on doit relier la lampe X à deux « colonnes » de programmation. On a choisi les colonnes 1 et 2. Sur la colonne 1, la fiche placée à gauche, sur la barrette A,représente A ; les fiches placées sur les barrettes B et C de part et d’autre de la colonne 1, « neutra­lisent » B et C. Donc, la colonne 1 « représente » A. La colonne 2 représente B . C (A est « neutralisée »). D’où X=\left|\begin{array}{c} A\\ BC \end{array}\right|
      • — Pour obtenir Y=\left|\begin{array}{c} \overline{C}B\\ \overline{C}A\\ \;\overline{B}C \end{array}\right| il faut relier la lampe Y à trois « colonnes » de programmation.
        Nous avons choisi les colonnes 3, 4, 5.
        Sur la colonne 3, A est « neutralisé » par les deux fiches, et les deux autres fiches « en série » représentent \;\overline{B}C.
        Sur la colonne 4, on a A\overline{C}. Sur la colonne 5, on a BC.
      • — Pour obtenir Z=\left|\begin{array}{c} \;\overline{A}\;\overline{B}\\ B\overline{C} \end{array}\right| il faut relier Z à deux « colonnes » de program­mation.
        Sur la « colonne » 6, on a « neutralisé » C par deux fiches et on a « écrit » \;\overline{A}\;\overline{B} avec les deux fiches placées, à droite de la colonne, sur les barrettes A et B.
        Sur la colonne 7, on a de même, B\overline{C}.
      • — Ainsi se trouve justifié le programme de la notice \fbox{3}