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II-3. Préparation d’un programme

Notice 1

Devinez le nombre choisi

II-5. Notice 2 : Le logicien.
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1°. Analyse du problème.
Les lampes X, Y, Z, éteintes ou allumées, doivent indiquer le nombre choisi, de 0 à 7, en système binaire. Ainsi :
(X=0, Y =0, Z=0) correspond à zéro ;
(X=0 ,Y =0, Z=1) correspond à 1 ;
(X=0, Y=1, Z=0) correspond à 2 ;

(X=1, Y =1, Z=1) correspond à 7.

Or à chaque nombre choisi correspond une suite de trois 0 ou 1 correspondants aux réponses données aux trois questions posées.

Table de valeurs.

– Si 0 est le nombre choisi, les réponses aux questions posées sont : « oui », « oui », « oui », c’est-à-dire A = 1, B = 1, C = 1.

– Si 1 est le nombre choisi, les réponses aux questions posées sont : « non », « oui », « oui », c’est-à-dire A=0, B = 1, C = 1.
– En étudiant les huit cas possibles, on obtient la table de valeurs ci-dessous.

 \begin{tabular}{|c|c|c||c|c|c||c|} \multicolumn{3}{c}{\textsf{\large{}$\begin{array}{c} entr\acute{e}e\\ \overbrace{\qquad\qquad} \end{array}$}} & \multicolumn{4}{c}{\textsf{\large{}$\begin{array}{c} sortie\\ \overbrace{\qquad\qquad\qquad} \end{array}$}}\tabularnewline \hline \textsf{\large{}A} & \textsf{\large{}B} & \textsf{\large{}C} & \textsf{\large{}X} & \textsf{\large{}Y} & \textsf{\large{}Z} & % \begin{minipage}[c]{10mm}% \noindent \begin{center} nombre \par\end{center} \noindent \begin{center} choisi\\ ~ \par\end{center}% \end{minipage}\tabularnewline \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\tabularnewline \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\tabularnewline \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2\tabularnewline \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 3\tabularnewline \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4\tabularnewline \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 5\tabularnewline \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 6\tabularnewline \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 7\tabularnewline \hline \end{tabular} Expressions algébriques.

  • La lampe X doit être allumée (X=1) lorsque (lignes 4 à 8 de la table) : \begin{tabular}{cc} & ($A=1$ et $B=0$ et $C=0$) \tabularnewline \textbf{ou} & ($A=0$ et $B=0$ et $C=0$) \tabularnewline \textbf{ou} & ($A=1$ et $B=0$ et $C=1$) \tabularnewline \textbf{ou} & ($A=0$ et $B=0$ et $C=1$) \tabularnewline \end{tabular} ce qui correspond à : \left|\begin{array}{c} A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ \overline{A}\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ \overline{A}\;\overline{B}C \end{array}\right|  \qquad Donc, on écrit : X=\left|\begin{array}{c} A\overline{B}\;\overline{C}\\ \overline{A}\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ \overline{A}\;\overline{B}C \end{array}\right|
  • On montre de même (lignes 3, 4, 7, 8 de la table de vérité) que :

        \[ Y=\left|\begin{array}{c} AB\overline{C}\\ \overline{A}B\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ \overline{A}\;\overline{B}C \end{array}\right|\]

  • De même (lignes 2, 4, 6, 8 de la table) :

        \[ Z=\left|\begin{array}{c} \overline{A}BC\\ \overline{A}B\overline{C}\\ \overline{A}\;\overline{B}\;\overline{C}\\ \overline{A}\;\overline{B}C \end{array}\right| \]

Simplifications. (Voir 1re partie, paragraphes 6 et 7).
  • Pour X :

        \[ X=\left|\begin{array}{c} A\;\overline{B}\;\overline{C}\\ \overline{A}\;\overline{B}\;\overline{C}\\ A\overline{B}C\\ \overline{A}\;\overline{B}C \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \left|\begin{array}{c} A\\ \overline{A} \end{array}\right|\overline{B}\;\overline{C}\\ \left|\begin{array}{c} A\\ \overline{A} \end{array}\right|\overline{B}C \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \overline{B}\;\overline{C}\\ \overline{B}C \end{array}\right|=\left|\overline{B}\left|\begin{array}{c} \overline{C}\\ C \end{array}\right|\right|=\overline{B} \]

  • De même :

        \[ Y=\left|\begin{array}{c} B\overline{C}\left|\begin{array}{c} A\\ \overline{A} \end{array}\right|\\ \overline{B}C\left|\begin{array}{c} A\\ \overline{A} \end{array}\right| \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} B\;\overline{C}\\ \overline{B}C \end{array}\right| \]

  • De même :

        \[ Z=\left|\begin{array}{c} \overline{A}B\left|\begin{array}{c} C\\ \overline{C} \end{array}\right|\\ \overline{A}\;\overline{B}\left|\begin{array}{c} C\\ \overline{C} \end{array}\right| \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} \overline{A}B\\ \overline{A}\;\overline{B} \end{array}\right|=\left|\overline{A}\left|\begin{array}{c} B\\ \overline{B} \end{array}\right|\right|=\overline{A} \]

Donc X=\overline{B} ; Y=\left|\begin{array}{c} B\;\overline{C}\\ \overline{B}C \end{array}\right| ; Z=\overline{A}Schéma du programme. (voir notice \framebox{1} ).
  • Nous avons choisi la colonne 2 pour « alimenter » la lampe X. Sur cette colonne 2, A est « neutralisée » en plaçant les deux fiches indiquées ; de même pour C. La fiche enfoncée dans la barrette B, correspond à B. D’où cette colonne 2 « représente \overline{B} ».
  • Pour alimenter la lampe Y, « nous fait \textbf{deux} colonnes de programmation. Nous avons chois les colonnes 3 et 5. La colonne 3, avec ses fiches en place, correspond à B\overline{C} et la colonne 5 à \overline{B}C.
  • Pour « alimenterv » la lampe Z, il faut une colonne de programmation. Nous avons choisi, la colonne 6. Elle représente, lorsque les fiches sont en place, \overline{A}.
  • Ainsi se trouve justifié le programme présenté sur la notice \framebox{1}.

 \begin{tabular}{ccc} & {*} & \tabularnewline {*} & & {*}\tabularnewline \end{tabular}

II-3. Préparation d’un programme
Jouez
II-5. Notice 2 : Le logicien.
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