Quelques propriétés de la logique des propositions

Notations pour les ensembles

Analyse binaire
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L’identification d’un ensemble ou d’une collection quelconque d’objets n’est rendue possible que par la définition qui en est donnée.

— Il est possible d’établir une liste nominative de tous les objets ou éléments identifiés qui le constituent. Dans ce cas, l’ensemble est défini en extension,

— Il est possible, également, de préciser une ou plusieurs propriétés nécessaires et suffisantes auxquelles satisfont tous les éléments de l’ensemble. L’ensemble est défini en  compréhension.

L’ensemble « E_{c} » des chiffres 1, 3, 5, 7, 9 par exemple, est défini en extension, alors que l’ensemble « E_{i} » des nombres impairs, se trouve par contre défini en compréhension, puisque tout élément qui appartient à « E_{i} » possède nécessairement la propriété d’être un nombre ayant la qualité d’être impair. Si « n_{i} » est un nombre impair, nous disons que « n_{i} » appartient à l’ensemble « E_{i} » et nous écrivons :

\framebox{$n_{i} \in E_{i}$}


Si « n_{p} » est un nombre pair, nous disons que « n_{p} » n’appartient pas à « E_{i} », et nous écrivons :

\framebox{$n_{p} \notin E_{i}$}


L’ensemble « E_{c} » est constitué des chiffres impairs 1, 3, 5, 7, 9, chacun de ces éléments appartient à « E_{i} » sans constituer la totalité des éléments de ce dernier. Nous disons alors que l’ensemble « E_{c} » est inclus dans l’ensemble « E_{i} » et nous écrivons :

\framebox {$E_{c} \subseteq E_{i}$}


L’inclusion de « E_{c} » dans « E_{i} » implique que tout élément de « x » appartenant à « E_{c} » appartient également à « E_{i} ». L’implication s’écrit à l’aide d’un signe égal complété par une flèche (\Longrightarrow) dirigé dans le sens de l’implication.

Dans le cas considéré, nous écrivons :


\framebox{ si $E_{c} \subseteq E_{i}$, $(x \in E_{c}) \Longrightarrow (x \in E{i})$}


et nous lisons : si « E_{c} » est inclus dans « E_{i} », « x » appartenant à « E_{c} » implique que « x » appartient à

Si deux ensembles sont égaux (E_{i} = E_{j}), l’implication est valable dans les deux sens. Tout élément de « E_{i} » appartient à « E_{j} » et réciproquement. Nous écrivons alors :

\framebox{si $E_{i} = E_{j}$, $(x \in E_{i}) \Longleftrightarrow (x \in E{j})$}


Définissons l’ensemble « E_{9} » des neufs premiers nombres entiers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Cet ensemble contient les éléments 2, 4, 6, 8, qui n’appartiennent pas à « E_{i} ». « E_{9} » n’est donc pas inclus dans « E_{i} » et nous écrivons :

\framebox{$E_{9} \not\subseteq E_{i}$}


Deux ensembles sont égaux s’ils contiennent exactement les mêmes éléments. Pour vérifier que deux ensembles sont égaux il faut donc s’assurer que tout élément du premier appartient au second et que tout élément du second appartient au premier.

Il y a donc lieu de noter également l’utilisation courante des signes équivalents à des phrases telles que : « quel que soit… » (\forall) ou « il existe… » (\exists).

\forall a, signifie : quel que soit « a ».

\exists x, signifie : il existe « x ».

En utilisant tous les éléments communs à deux ensembles « A » et « B », il est possible de constituer un ensemble « I ». Nous disons que « I » représente l'{intersection des ensembles « A » et « B » et nous écrivons :

\framebox{$I = A \cap B$}


 \framebox{$(x \in A$ et $x \in B) \Longleftrightarrow (x \in I)$}


Nous pouvons également rassembler ou réunir la totalité des éléments appartenant aux ensembles « A » et « B ». Nous définissons alors un nouvel ensemble « R » qui est la réunion des ensembles « A » et « B » et nous écrivons~ :
\framebox{$R = A \cup B$}

Nous en déduisons les implications :

(x \in A) \Longrightarrow (x \in R)


(x \in B) \Longrightarrow (x \in R)


Si à l’élément générique « a » d’un ensemble « A » nous faisons correspondre un élément « b », et un seul, de l’ensemble « B », « b » est appelé image de « a ». Si tout élément de « B » est l’image d’un ou de plusieurs éléments de « A », nous disons que la correspondance est une application de l’ensemble « A » sur l’ensemble « B . Si, seuls certains éléments de « B » sont des éléments de « A », la correspondance est une application de « A » dans « B ». Si l’application est réciproque et biunivoque, elle prend le nom de bijection.

Nous pouvons établir, entre les éléments d’un ensemble, des relations de composition interne dont nous allons définir les propriétés élémentaires parmi lesquelles : la réflexivité, la symétrie et la transitivité.

Soit « {\cal R} » une relation de composition interne :

— « {\cal R} » est une relation réflexive si nous pouvons écrire A\;{\cal R}\;A,

— « {\cal R} » possède la propriété de symétrie si (A\;{\cal R}\;B) \Longleftrightarrow (B\;{\cal R}\;A),

— « {\cal R} » est une relation transitive si (A\;{\cal R}\;C et C\;{\cal R}\;B) \Longrightarrow (A\;{\cal R}\;B).

Lorsqu’une relation « {\cal R} » possède simultanément les trois propriétés, nous disons que c’est une relation d’ équivalence.

Nous pouvons aussi définir dans l’ensemble « E » des lois de composition internes si à tout couple d’éléments (a, b) \in E nous faisons correspondre un élément d \in E tel que d = a \circ b).

— La loi est commutative si a \circ b = b \circ a,

— elle est associative si a \circ b \circ c = (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c).

L’élément « e \in E » est appelé élément neutre de la loi interne « \circ » de « E » si \forall x \in E, nous pouvons écrire e \circ x = x \circ e = x.

L’élément « a \in E » est appelé élément absorbant de la la loi interne « \circ » de « E », si \forall x \in E », nous pouvons écrire :

a \circ x = x \circ a = a


L’existence d’un certain nombre de lois dont les propriétés sont posées comme axiomes, définit dans un ensemble, une structure algébrique.
Quelques propriétés de la logique des propositions
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