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II. Conclusion

La logique des propositions inanalysées

Les tautologies
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Les tables de vérité

Partons des trois phrases suivantes :

1.  Les vers luisants émettent de la lumière ;
2.  9 est un nombre premier ;
3.  Les petits bateaux ont-ils des jambes ?

La première est vraie, la deuxième est fausse, quant à la troisième elle pose une question et elle n’est ni vraie, ni fausse. La logique dont nous allons traiter concerne les seules propositions dont il y a un sens à dire qu’elles sont vraies ou fausses.

D’une façon plus précise, nous appellerons proposition toute expression susceptible de prendre une et seulement une des deux valeurs de vérité suivantes : le vrai que nous noterons 1, le faux que nous noterons 0. Ainsi si p représente la phrase (1) ci-dessus et q la phrase (2), on pourra écrire :

 

val(p)=1 soit : « la valeur (de vérité) de la proposition p est 1 » ou encore « p est vraie ».
val(q)=0 soit : « la valeur (de vérité) de la proposition q est 0 » ou encore « q est fausse».

Remarque

La détermination de la valeur actuelle d’une proposition n’est pas une question de logique. Ainsi c’est une affaire de biologie que de vérifier si val(p)=1 et c’est à l’arithmétique de montrer que val(q)=0. Cela signifie que la logique se contente de savoir que les objets dont elle s’occupe sous le nom de proposition ont l’une ou l’autre des valeurs 1 ou 0.

Soit alors V=df\left\{ 1,\:0\right\} l’ensemble des valeurs de vérité et soit \Pi l’ensemble des propositions au sens ci-dessus. Dire que si P est un élément quelconque de \Pi, P a une valeur de vérité c’est dire qu’il existe une application notée val, de \Pi vers V. On a donc : val\,:\,\Pi\rightarrow V.

La notion mathématique d’application entraîne les deux conséquences suivantes :

1.Tout élément de \Pi, donc toute proposition, a une valeur dans V.
2. Un élément de \Pi, donc une proposition, n’a qu’une seule valeur.

Les éléments de \Pi peuvent être aussi bien des propositions atomiques que des propositions moléculaires (I, p. 7).

Le problème qui va nous occuper est alors le suivant : Si P est une proposition moléculaire composée des atomes p_{1},\, p_{2},\,\text{\ldots},\, p_{n}, déterminer la valeur de vérité de P. Résoudre ce problème, c’est évaluer P ou encore calculer l’évaluation de P.

Pour évaluer P, il faut se souvenir que P est composée de p_{1},\, p_{2},\,\text{\ldots},\, p_{n}, à l’aide des foncteurs propositionnels, que nous appellerons aussi indifféremment des opérateurs. Ainsi la proposition moléculaire P=df\:\thicksim p\supset\left(p\vee q\right) est composée des atomes p et q par les opérateurs de négation (\thicksim), de la conditionnelle (\supset) et de la disjonction non exclusive (\vee).
Nous savons que chacun des atomes a l’une des valeurs 1 ou 0. Il sera donc possible d’évaluer P si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

1. La valeur de P ne dépend que des valeurs de ses atomes.
2. On connaît la façon dont les foncteurs opèrent sur les valeurs de leurs arguments.

La première condition est tout simplement postulée. Quant à la seconde, elle revient à donner une définition de chacun des opérateurs ou foncteurs propositionnels.

Remarque

Postuler que la valeur d’une proposition moléculaire ne dépend que de celles de ses atomes, revient à adopter le point de vue qu’on appelle extensionnel. Il s’agit là d’une décision limitative. Supposons en effet que P contienne, en particulier, l’atome p. Si l’on trouve un autre atome q qui ait la valeur 1 en même temps que p et la valeur 0 en même temps que p, on devrait pouvoir substituer q à p dans P sans modifier la valeur de P. Or ceci n’est pas toujours le cas, comme le montre l’exemple suivant :

Soit \begin{tabular}{rcl} $p$ & $=df$ & l'eau de mer contient du chlorure de sodium~;\tabularnewline $q$ & $=df$ & l'eau de mer contient du sel~;\tabularnewline $P$ & $=df$ & Aristote ne savait pas que l'eau de mer contient du chlorure de sodium.\tabularnewline \end{tabular}

La substitution de q à p conduit à « Aristote ne savait pas que l’eau de mer contient du sel ». On voit que la valeur de vérité de cette proposition P ne dépend pas uniquement de celle de p. La logique classique des propositions est incapable d’en traiter.

Commençons par définir l’opérateur de négation. Il est naturel de poser ce qui suit :

\begin{tabular}{cccc} Si & $val(p)=1$ & alors & $val(\thicksim p)=0$\tabularnewline Si & $val(p)=0$ & alors & $val(\thicksim p)=1$\tabularnewline \end{tabular}

Il est commode de présenter les choses sous la forme d’une table :

\begin{tabular}{c|ccc|c} $val(p)$ & $val(\thicksim p)$ & ou plus simplement encore : & $p$ & $\thicksim p$\tabularnewline \cline{1-2} \cline{4-5} 1 & 0 & & 1 & 0\tabularnewline 0 & 1 & & 0 & 1\tabularnewline \end{tabular}

Une telle table, dite aussi table de vérité, définit l’opération de négation et permet de calculer les valeurs des propositions niées.

Exemple : calcul de la valeur de \thicksim\thicksim p.

\begin{tabular}{c|c|ccccccc|cc} \multicolumn{4}{l}{Présentation verticale} & \hspace*{2cm} & \multicolumn{6}{c}{Présentation horizontale}\tabularnewline \multicolumn{4}{l}{des calculs} & & \multicolumn{6}{l}{des calculs}\tabularnewline \multicolumn{1}{c}{$\thicksim$} & \multicolumn{1}{c}{$\thicksim$} & $p$ & & & & & & $p$ & 1 & 0\tabularnewline \cline{1-3} 1 & 0 & 1 & & & & & & $\thicksim p$ & 0 & 1\tabularnewline \cline{9-11} 0 & 1 & 0 & & & & & & $\thicksim\thicksim p$ & 1 & 0\tabularnewline \end{tabular}

\thicksim\thicksim p et p ont donc toujours mêmes valeurs de vérité.

Passons maintenant aux opérateurs binaires dont nous avons étudié la manipulation dans le Fascicule I. Nous allons, comme nous l’avons déjà fait, nous appuyer sur l’usage. Il faut toutefois souligner deux faits méthodologiquement importants.

— L’usage est une notion peu précise en ce sens qu’une même expression, comme ou par exemple, s’utilise en fait de plusieurs façons. Cela revient à dire que nous serons conduits à choisir certains aspects et à en négliger d’autres.
— Cet appel à l’usage n’est qu’un procédé heuristique. Cela veut dire que, une fois une table de vérité posée, l’opérateur doit être considéré comme entièrement défini par elle et qu’il ne dépend plus en rien de son sens naïf.

Les foncteurs dont nous allons traiter opèrent donc sur deux arguments. Cela revient à dire que, appliqués à deux propositions, ils engendrent une nouvelle proposition. Chacun des atomes peut être vrai ou faux indépendamment de l’autre. Nous aurons donc quatre possibilités à envisager et nous les considérerons toujours dans l’ordre canonique suivant :

 \begin{tabular}{lll} (1) $val(p)=val(q)=1$ & & (2) $val(p)=1$, $val(q)=0$\tabularnewline (2) $val(p)=0$, $val(q)=1$ & & (4) $val(p)=val(q)=0$\tabularnewline \end{tabular}

Opérateur de conjonction \wedge (I.1.4)

Nous admettrons que p\wedge q n’est vraie que si p et q sont toutes deux vraies. On est conduit ainsi à la table suivante,
que nous présentons de trois façons différentes. Par la suite nous ne retiendrons que la troisième présentation.

\begin{tabular}{ccccc} \begin{tabular}{c|c|c} \multicolumn{1}{c}{$p$} & \multicolumn{1}{c}{$\wedge$} & $q$\tabularnewline \hline 0 & 0 & 0\tabularnewline 0 & 0 & 1\tabularnewline 1 & 0 & 0\tabularnewline 1 & 1 & 1\tabularnewline \end{tabular} & \hspace*{\fill} & % \begin{tabular}{r|c||c} \multicolumn{1}{r}{} & \multicolumn{2}{c}{$\overbrace{}^{q}$}\tabularnewline \begin{tabular}{rr} & $\wedge$\tabularnewline \cline{2-2} \multicolumn{2}{r}{$p\left\{ \begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right.$}\tabularnewline \end{tabular} & \multicolumn{2}{l}{% \begin{tabular}{cc} 1 & 0\tabularnewline \hline 1 & 0\tabularnewline 0 & 0\tabularnewline \end{tabular}}\tabularnewline \end{tabular} & \hspace*{\fill} & % \begin{tabular}{|c|c||c|} \hline $p$ & $q$ & $p\wedge q$\tabularnewline \hline 0 & 0 & 0\tabularnewline 0 & 1 & 0\tabularnewline 1 & 0 & 0\tabularnewline 1 & 1 & 1\tabularnewline \hline \end{tabular}\tabularnewline \end{tabular}

Il est facile de s’assurer que les propositions p\wedge q et q\wedge p ont mêmes valeurs de vérité.

Opérateur de disjonction non-exclusive \vee (1.1.8)

Nous poserons : p\vee q n’est fausse que si p et q sont fausses, ce qui conduit à la table suivante :

\begin{tabular}{|c|c||c|} \hline $p$ & $q$ & $p\vee q$\tabularnewline \hline 0 & 0 & 0\tabularnewline 0 & 1 & 1\tabularnewline 1 & 0 & 1\tabularnewline 1 & 1 & 1\tabularnewline \hline \end{tabular}

Les propositions : p\vee q et q\vee p ont mêmes valeurs de vérité. De plus, ainsi qu’on peut le constater, il existe une transformation simple qui permet de passer de \vee à \wedge et inversement. Il suffit de lire chaque table de bas en haut, de remplacer les 1 par des 0 et les 0. par des 1. Cette transformation que nous retrouverons plus loin \eqref{INRD}s’appelle la \emph{transformation duale}.

Opérateur de disjonction exclusive \vee\hspace*{-4pt}\vee}

Si, comme c’est le plus souvent le cas, la conjonction\emph{ ou} veut donner le choix entre les deux propositions qu’elle relie, il convient de ne pas considérer comme vraie la combinaison val(p)=val(q)=1.

On obtient donc la table :

\begin{tabular}{|c|c||c|} \hline $p$ & $q$ & $p$\emph{$\vee$\hspace*{-4pt}$\vee$$q$}\tabularnewline \hline 0 &  0  &  0 \tabularnewline 0 &  1  & 1 \tabularnewline 1 &  0  & 1  \tabularnewline 1 &  1 & 0 \tabularnewline \hline \end{tabular}

On a encore val(p \doublevee q) = val(p \doublevee q).

Opérateur conditionnel \supset (I. 1. 3) }

Nous allons partir de l’exemple suivant :

« Si n est divisible par 6, n est pair ». On a donc une proposition de la forme p\supset q avec p=df n est divisible par 6 et q =df n est pair.

Il est clair que si val(p)=val(q)=1 alors val(p\supset q)=1. C’est là une partie de l’information que communique la proposition conditionnelle. L’autre partie est qu’il ne se peut pas que n soit divisible par 6 sans être pair. On a donc que : si val(p)=1 et val(q)=0 alors val(p\supset q)=0. Mais que se passe-t-il dans le cas où n n’est pas divisible par 6 ? On voit qu’il peut également arriver que n soit pair, val(q)=1 ou impair, val(q)=0. La conditionnelle p\supset q ne se prononce pas sur ces éventualités. Nous poserons en conséquence la table suivante :

\begin{tabular}{|c|c||c|} \hline $p$ & $q$ & $p\supset q$\tabularnewline \hline 0 & 0 & 1 \tabularnewline 0 & 1 & 1 \tabularnewline 1 & 0 & 0 \tabularnewline 1 & 1 & 1 \tabularnewline \hline \end{tabular}

Il importe de noter que cette façon de traiter l’opérateur conditionnel constitue un modèle souvent inadéquat de si… alors. Sans même revenir sur les usages du genre « si j’avais su, je ne serais pas venu », il arrive très souvent que la signification des propositions en jeu exclut la possibilité d’avoir p\supset q vraie lorsque p est fausse et q vraie. Ainsi la proposition « si vous passez me voir, nous boirons une bouteille ensemble » ne peut pas être vraie lorsque « vous passez me voir » est fausse. Il s’agit-là d’une autre façon de mettre en évidence l’aspect extensionnel de la logique, qui ne traite que de la valeur de vérité des propositions, à l’exclusion de leur signification.

Opérateur biconditionnel \equiv (I. 1. 5)

C’est cet opérateur qui constituerait un meilleur modèle de l’exemple qui précède. Il traduit donc les situations dans lesquelles si on a p on a q et si on n’a pas p, on n’a pas q. Il est défini par la table suivante :

 \begin{tabular}{|c|c||c|} \hline $p$ & $q$ & $p\equiv q$\tabularnewline \hline 0 & 0 & 1 \tabularnewline 0 & 1 & 0 \tabularnewline 1 & 0 & 0 \tabularnewline 1 & 1 & 1 \tabularnewline \hline \end{tabular}

On remarquera qu’il est très simple de passer de la table de \doublevee à celle de \equiv et inversement : il suffit d’y remplacer les 1 par des 0 et les 0 par des 1. Cette transformation est celle de négation. Il est enfin facile de voir que val(p\equiv q)=val(q\equiv p).

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