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4. Savoir dire « OU »

Remarquons d’abord que, dans le langage courant français, la conjonction « ou » est ambiguë. Par exemple :

  • — « fromage » ou « dessert » portent, parfois, les menus des restaurants. Il faut alors comprendre que c’est soit l’un, soit l’autre, à l’exclusion des deux.
  • — « tarif réduit aux étudiants ou aux adhérents du ciné-club »  ; là il faut comprendre que l’étudiant adhérent du ciné-club a aussi droit au tarif réduit.

Dans le premier cas, le « ou » est dit exclusif ; dans le second cas, il est dit « non exclusif ».
Remarquons aussi qu’en anglais, les deux sens du mot « ou » sont distingués : « or » ayant le sens non exclusif ; « either…, either… » le sens exclusif. Il en est de même en allemand « oder », sens non exclusif ; « entweder…, oder… », sens exclusif. De même en latin : « aut », ou exclusif ; « vel », sens non exclusif.


Le « ou » considéré par la suite sera non exclusif.

  • En logique.
    • — Soit la phrase : « demain j’irai au cinéma ou j’irai voir l’ami Pierre »}.
      Si l’on considère les deux propositions :

      A : « demain j’irai au cinéma »  ;
      B : « demain j’irai voir l’ami Pierre »  ;

      La phrase considérée s’écrit alors A ou B. On dit que c’est la conjonction logique des propositions A et B. On s’accordera à dire que A ou B est : vraie si, au moins l’une des propositions A et  B est vraie (trois cas) ; fausse si A et B sont simultanément fausses.

    • Plus généralement, étant données deux propositions A, B, la conjonction A ou B, notée \left|\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right|, admet les tables de valeur (ou de vérité) ci-dessous :

      A B \left|\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right|
      F F F
      F V V
      V F V
      V V V
      A B \left|\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right|
      0 0 0
      0 1 1
      1 0 1
      1 1 1

       


      Remarque importante.

      La conjonction logique \left|\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right|, aussi nommée produel, est souvent notée, non sans danger, A+B  (autrefois, appelée somme logique des propositions A et B ).

    • Les règles d’utilisation de cet opérateur sont :
      0+0=0 (première ligne) \ 1+0=0+1=1 (2^\mathrm{\grave{e}me} et 3^\mathrm{\grave{e}me} lignes) 1+1=1 (4^\mathrm{\grave{e}me} ligne).

      Dans ce livret d’initiation, afin d’éviter toute erreur chez les débutants,nous noterons la conjonction logique « A ou B ». La disposition verticale, d’une part, évite la confusion avec l’opérateur \mathlarger{\mathlarger{\mathlarger{+}}} et traduit, d’autre part, la disposition du montage parallèle.

 

  • En théorie des ensembles.
    • — Soit E l’ensemble des lettres du mot « beau » et F l’ensemble des lettres du mot « bahut ». L’ensemble des lettres entrant dans l’écriture du mot « beau » ou du mot « bahut » est la réunion des ensembles E et F . On note E \cup F ( lire « E union (ou réunion) F ) cet ensemble. Ici : E \cup F = \mathsf{\left\{ \mathbf{a,b,e,h,u,t}\right\} }
    • Plus généralement,
      soit a l’ensemble des éléments rendant vraie une proposition A,
      soit b l’ensemble des éléments rendant vraie une proposition B,
      la réunion \mathbf{a\boldsymbol{\cup\mathbf{b}}} est l’ensemble des éléments rendant vraie la conjonction logique \left|\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right|.

      Ceci se représente de l’une des façons suivantes :



      a \mathbf{\bar{a}}
      b a ∪ b
      \mathbf{\bar{b}}

       

    • Circuits électriques.

    Pour que la lampe X s’allume il faut, et il suffit, que l’un au moins des interrupteurs A ou B soit, quand on agit sur eux, sur la position 1 (figure ci-contre, les interrupteurs sont à l’état de repos). Autrement dit, le « montage en parallèle » correspond à la conjonction logique.

    X = \left|\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right|
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