I-4. Savoir dire « OU »

Savoir dire « OU »

I-5. Que peut-on découvrir avec deux informations

Remarquons d’abord que, dans le langage courant français, la conjonction « ou » est ambiguë. Par exemple :

— « fromage » ou « dessert » portent, parfois, les menus des restaurants. Il faut alors comprendre que c’est soit l’un, soit l’autre, à l’exclusion des deux.

— « tarif réduit aux étudiants ou aux adhérents du ciné-club » ; là il faut comprendre que l’étudiant adhérent du ciné-club a aussi droit au tarif réduit.

Dans le premier cas, le « ou » est dit exclusif ; dans le second cas, il est dit « non exclusif ». Remarquons aussi qu’en anglais, les deux sens du mot « ou » sont distingués : « or » ayant le sens non exclusif ; « either…, either… » le sens exclusif. Il en est de même en allemand « oder », sens non exclusif ; « entweder…, oder… », sens exclusif. De même en latin : « aut », ou exclusif ; « vel », sens non exclusif.
Le « ou » considéré par la suite sera non exclusif.

En logique.
- — Soit la phrase : « demain j’irai au cinéma ou j’irai voir l’ami Pierre »}. Si l’on considère les deux propositions :
  
  A : « demain j’irai au cinéma » ;
  
  B : « demain j’irai voir l’ami Pierre » ;
  
  La phrase considérée s’écrit alors A ou B. On dit que c’est la conjonction logique des propositions A et B. On s’accordera à dire que A ou B est : vraie si, au moins l’une des propositions A et B est vraie (trois cas) ; fausse si A et B sont simultanément fausses.
- — Plus généralement, étant données deux propositions A, B, la conjonction A ou B, notée $\left|\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right|$ , admet les tables de valeur (ou de vérité) ci-dessous :
  
  A B $\left|\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right|$
  
  F F F
  
  F V V
  
  V F V
  
  V V V
  
  A B $\left|\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right|$
  
  0 0 0
  
  0 1 1
  
  1 0 1
  
  1 1 1
  
  Remarque importante.
  
  La conjonction logique $\left|\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right|$ , aussi nommée produel, est souvent notée, non sans danger, $A+B$ (autrefois, appelée somme logique des propositions $A$ et $B$ ).
- Les règles d’utilisation de cet opérateur sont :
  
  $0+0=0$ (première ligne) $\ 1+0=0+1=1$ (2 $^\mathrm{\grave{e}me}$ et 3 $^\mathrm{\grave{e}me}$ lignes) $1+1=1$ (4 $^\mathrm{\grave{e}me}$ ligne).
  
  Dans ce livret d’initiation, afin d’éviter toute erreur chez les débutants,nous noterons la conjonction logique « $A$ ou $B$ ». La disposition verticale, d’une part, évite la confusion avec l’opérateur $\mathlarger{\mathlarger{\mathlarger{+}}}$ et traduit, d’autre part, la disposition du montage parallèle.

En théorie des ensembles.
- — Soit E l’ensemble des lettres du mot « beau » et F l’ensemble des lettres du mot « bahut ». L’ensemble des lettres entrant dans l’écriture du mot « beau » ou du mot « bahut » est la réunion des ensembles E et F . On note E $\cup$ F ( lire « E union (ou réunion) F ) cet ensemble. Ici : E $\cup$ F = $\mathsf{\left\{ \mathbf{a,b,e,h,u,t}\right\} }$
- — Plus généralement, soit a l’ensemble des éléments rendant vraie une proposition A, soit b l’ensemble des éléments rendant vraie une proposition B, la réunion $\mathbf{a\boldsymbol{\cup\mathbf{b}}}$ est l’ensemble des éléments rendant vraie la conjonction logique $\left|\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right|$ .
  
  Ceci se représente de l’une des façons suivantes :
  
  a $\mathbf{\bar{a}}$
  
  b a ∪ b
  
  $\mathbf{\bar{b}}$
• Circuits électriques.

Pour que la lampe X s’allume il faut, et il suffit, que l’un au moins des interrupteurs A ou B soit, quand on agit sur eux, sur la position 1 (figure ci-contre, les interrupteurs sont à l’état de repos). Autrement dit, le « montage en parallèle » correspond à la conjonction logique.

$X = \left|\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right|$