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La proposition conjonctive

Une proposition conjonctive est de la forme : P et Q. Nous écrirons P\wedge Q, ce que certains auteurs notent~ : P\&Q, P.Q ou même simplement PQ.

Supposons qu’une telle proposition, par exemple « il fait grand froid et j’ai tué six loups » soit vraie. L’usage habituel de la conjonction « et » est tel que nous entendons que « il fait grand froid » et « j’ai tué six loups » sont également deux propositions vraies. Ceci conduit à poser les deux règles d’élimination suivantes, que nous désignerons par le même sigle : \wedge e.

Règles \mathbf{\wedge} e

 \begin{tabular}{c|lll} $n$ & \multicolumn{2}{l}{$P\wedge Q$} & \tabularnewline \cline{2-2}   & $P$ &  & $n$, $\wedge$ e\tabularnewline \end{tabular} $\qquad$ et $\qquad$ \begin{tabular}{c|lll} $n$ & \multicolumn{2}{l}{$P\wedge Q$} & \tabularnewline \cline{2-2}   & Q &  & $n$, $\wedge$ e\tabularnewline \end{tabular}

Inversement d’ailleurs, dans le cas où l’on sait que les deux propositions P et Q sont vraies séparément, nous sommes disposés à affirmer que la proposition conjonctive P\wedge Q est aussi vraie. D’où la règle \wedge i :

Règle \mathbf{\wedge} i

 \begin{tabular}{c|ll} $n$ & $P$ & \tabularnewline $m$ & $Q$ & \tabularnewline  & \ldots{} & \tabularnewline  & $P\wedge Q$ & $n$, $m$ $\wedge$i\tabularnewline \end{tabular}

Remarque

Ici encore les petites barres en traitillé indiquent que les propositions qui sont au-dessus sont les prémisses de la règle et que la proposition qui est au-dessous en est la conclusion.

L’emploi de ces règles est extrêmement facile. En voici quelques exemples.

Exemples

[1] \vdash p\supset(p\wedge p)

 \begin{tabular}{c|l|llcl} 1 &  & $p$ &  &  & hyp\tabularnewline \cline{3-3}  2 &  & \multicolumn{2}{l}{$p$} &  & 1, rep\tabularnewline 3 &  & \multicolumn{2}{l}{$p\wedge p$} &  & 1, 2, $\wedge$i\tabularnewline 4 & \multicolumn{3}{l}{$p\supset(p\wedge p)$} &  & 1-3, $\supset$i\tabularnewline \end{tabular}

[2] \vdash(p\wedge p)\supset p

 \begin{tabular}{c|c|clcl} 1 &  & \multicolumn{2}{c}{$p\wedge p$} &  & hyp\tabularnewline \cline{3-3}  2 &  & $p$ &  &  & 1, $\wedge$e\tabularnewline 3 & \multicolumn{3}{c}{$(p\wedge p)\supset p$} &  & 1-2, $\supset$i\tabularnewline \end{tabular}

[3] \vdash(p\wedge q)\supset(q\wedge p)

 \begin{tabular}{c|l|llcl} 1 &  & \multicolumn{2}{l}{$p\wedge q$} &  & hyp\tabularnewline \cline{3-3}  2 &  & $p$ &  &  & 1, $\wedge$e\tabularnewline 3 &  & \multicolumn{2}{l}{$q$} &  & 1, $\wedge$e\tabularnewline 4 &  & \multicolumn{2}{l}{$q\wedge p$} &  & 3, 2, $\wedge$i\tabularnewline 5 & \multicolumn{3}{l}{$(p\wedge q)\supset(q\wedge p)$} &  & 1-4, $\supset$i\tabularnewline \end{tabular}

Remarque : Aucune hypothèse n’a été faite, dans l’énoncé des règles, sur la relation entre n et m. Il s’ensuit qu’elles sont applicables aussi bien lorsque n<m que lorsque m<n.

[4]\vdash((p\wedge q)\wedge m)\supset(p\wedge(q\wedge m))

 \begin{tabular}{c|c|lcl} 1 &  & $(p\wedge q)\wedge m$ &  & hyp\tabularnewline \cline{3-3}  2 &  & $p\wedge q$ &  & 1, $\wedge$e\tabularnewline 3 &  & $m$ &  & 1, $\wedge$e\tabularnewline 4 &  & $p$ &  & 2, $\wedge$e\tabularnewline 5 &  & $q$ &  & 2, $\wedge$e\tabularnewline 6 &  & $q\wedge m$ &  & 5, 3, $\wedge$i\tabularnewline 7 &  & $p\wedge(q\wedge m)$ &  & 4, 6, $\wedge$i\tabularnewline 8 & \multicolumn{4}{l}{Th.}\tabularnewline \end{tabular}

Remarque : au lieu de répéter la donnée à la dernière ligne d’une démonstration, nous écrirons souvent « Th. », abréviation pour « le théorème à démontrer ».

[5](p\supset q)\wedge(q\supset m)\vdash p\supset m

 \begin{tabular}{c|c|llcl} 1 & \multicolumn{3}{c}{$(p\supset q)\wedge(q\supset m)$} &  & hyp\tabularnewline \cline{2-2}  2 &  & p &  &  & hyp\tabularnewline \cline{3-3}  3 &  & \multicolumn{2}{l}{$(p\supset q)\wedge(q\supset m)$} &  & 1, reit\tabularnewline 4 &  & \multicolumn{2}{l}{$p\supset q$} &  & 3, $\wedge$e\tabularnewline 5 &  & \multicolumn{2}{l}{$q\supset m$} &  & 3, $\wedge$e\tabularnewline 6 &  & \multicolumn{2}{l}{$q$} &  & 4, 2, $\supset$e\tabularnewline 7 &  & \multicolumn{2}{l}{$m$} &  & 5, 6, $\supset$e\tabularnewline 8 & \multicolumn{3}{l}{$p\supset m$} &  & 2, 7, $\supset$i\tabularnewline \end{tabular}

Comme on le voit sur cet exemple, la procédure heuristique décrite à la fin du paragraphe ? ?, reste applicable ici. Après avoir pris comme hypothèses tous les antécédents possibles, on décompose entièrement les propositions pour « reconstruire » ensuite le tout.