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6. Algèbre de Boole pour deux propositions.

  • Des relations courantes entre les seize propositions (voir §5) que l’on peut former avec deux propositions permettent de simplifier des expressions et, surtout, de simplifier les circuits électriques correspondant.
    Les démonstrations des formules ci-dessous s’obtiennent soit à l’aide des diagrammes ensemblistes, soit, mieux, à l’aide des tables de valeur. Nous avons indiqué, ci-dessous, à titre d’exemple, deux de ces démonstrations

    A\;B=B\;A (1) \left|\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}B\\A\end{array}\right| (2)
    \overline{AB}=\left|\begin{array}{c}\overline{A}\\ \overline{B}\end{array}\right| \left.\begin{array}{c}(3) \\ \\ \\(4)\\ \end{array}\right\rbrace Lois de dualité
    (ou formules de De Morgan)
    \overline{\left|\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right|}=\overline{A}\overline{B}
    \left|\begin{array}{c}A\overline{B}\\\overline{A}B\\AB\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right| (5) \left|\begin{array}{c}A\overline{B}\\\overline{A}B\\ \overline{A}\overline{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\overline{A}\\\overline{B}\end{array}\right| (6)
    \left|\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}A\\\overline{B}\end{array}\right|=A (7)
    \left|\begin{array}{c}A\\\overline{A}\end{array}\right|=1 (expression toujours vraie) (8) A\overline{A}=0 ( toujours fausse) (9)
    A.1=A (10) A.0=0 (11)
    \left|\begin{array}{c}A\\1\end{array}\right|=1 (12) \left|\begin{array}{c}A\\0\end{array}\right|=A (13)
    A\left|\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right|=A (14) \left|\begin{array}{c}A\\AB\end{array}\right|=A (15)
  • Formule
    • — Démontrons cette formule à l’aide des tables de valeur, en construisant successivement les tables de \overline{B}, \left|\begin{array}{c}\overline{A}\\ \overline{B}\end{array} \right|, et en comparant celles de \overline{AB} et \left|\begin{array}{c}\overline{A} \\ \overline{B}\end{array}\right|.
    • A B AB \overline{AB} \overline{A} \overline{B} \left|\begin{array}{c}\overline{A}\\\overline{B}\end{array}\right|
      0 0 0 1 1 1 1
      0 1 0 1 1 0 1
      1 0 0 1 0 1 1
      1 1 1 0 0 0 0
      Comparer
    • — Les diagrammes ci-dessous illustrent la même formule.
      non_A_inter_B_p18 Non_A_ou_non_B
      \overline{AB}
      • — hachures horizontales \overline{B}
      • — hachures verticales \overline{A}
      • — une sorte, au moins, de hachures \left|\begin{array}{c}\overline{A}\\\overline{B}\end{array}\right|
    • Formule (6).
      • — En construisant successivement les Tables de valeurs de \overline{A} ; \overline{B} ; \overline{A}B ; A\overline{B} ; \overline{A}\overline{B} ; \left|\begin{array}{c}\overline{A}B\\A\overline{B}\\ \overline{A}\overline{B}\end{array}\right| ; puis celle de \left|\begin{array}{c}\overline{A}\\ \overline{B}\end{array}\right|, et en comparant, on obtient la formule envisagée.
      •      \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}% \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{6-6} \cline{8-8} \cline{10-10} \cline{12-12} \cline{14-14} \cline{16-16} % {A} & {B} & & {$\overline{A}$} & & {$\overline{B}$} & & {$\overline{A}B$} & & {$A\overline{B}$} & & {$\overline{A}\overline{B}$} & & {$\left|\begin{array}{c}\overline{A}B\\A\overline{B}\\\overline{A}\overline{B}\end{array}\right|$} & & {}%% \begin{minipage}[c]{8mm}%% {\vspace*{.7mm}$\left|\begin{array}{c}\overline{A}\\ \overline{B}\end{array}\right|$\vspace*{\smallskipamount}% }%% \end{minipage}\\% \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{6-6} \cline{8-8} \cline{10-10} \cline{12-12} \cline{14-14} \cline{16-16} % {0} & {0} & & {1} & & {1} & & {0} & & {0} & & {1} & & {1} & & {1}\\% \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{6-6} \cline{8-8} \cline{10-10} \cline{12-12} \cline{14-14} \cline{16-16} % {0} & {1} & & {1} & & {0} & & {1} & & {0} & & {0} & & {1} & & {1}\\% \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{6-6} \cline{8-8} \cline{10-10} \cline{12-12} \cline{14-14} \cline{16-16} % {1} & {0} & & {0} & & {1} & & {0} & & {1} & & {0} & & {1} & & {1}\\% \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{6-6} \cline{8-8} \cline{10-10} \cline{12-12} \cline{14-14} \cline{16-16} % {1} & {1} & & {0} & & {0} & & {0} & & {0} & & {0} & & {0} & & {0}\\% \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{6-6} \cline{8-8} \cline{10-10} \cline{12-12} \cline{14-14} \cline{16-16} % \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{3}{c}{{$\uparrow$$\underline{\text Comparer}$$\uparrow$}}\\% \end{tabular}%

      • — Les diagrammes ci-dessous illustrent la même formule ; on retient les zones blanches.
      • Schema_3_p_18
        \left|\begin{array}{c}\overline{A}B\\A\overline{B}\\\overline{A}\overline{B}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{c}\overline{A}\\ \overline{B}\end{array}\right|
    Avec deux informations
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